Theorem eluzelz 9335

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 9332	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp2bi 997	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   <_ cle 7801   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-neg 7936  df-z 9055  df-uz 9327

This theorem is referenced by:  eluzelre  9336  uztrn  9342  uzneg  9344  uzssz  9345  uzss  9346  eluzp1l  9350  eluzaddi  9352  eluzsubi  9353  eluzadd  9354  eluzsub  9355  uzm1  9356  uzin  9358  uzind4  9383  uz2mulcl  9402  elfz5  9798  elfzel2  9804  elfzelz  9806  eluzfz2  9812  peano2fzr  9817  fzsplit2  9830  fzopth  9841  fzsuc  9849  elfzp1  9852  fzdifsuc  9861  uzsplit  9872  uzdisj  9873  fzm1  9880  fzneuz  9881  uznfz  9883  nn0disj  9915  elfzo3  9940  fzoss2  9949  fzouzsplit  9956  eluzgtdifelfzo  9974  fzosplitsnm1  9986  fzofzp1b  10005  elfzonelfzo  10007  fzosplitsn  10010  fzisfzounsn  10013  mulp1mod1  10138  m1modge3gt1  10144  frec2uzltd  10176  frecfzen2  10200  uzennn  10209  uzsinds  10215  seq3fveq2  10242  seq3feq2  10243  seq3shft2  10246  monoord  10249  monoord2  10250  ser3mono  10251  seq3split  10252  iseqf1olemjpcl  10268  iseqf1olemqpcl  10269  seq3f1olemqsumk  10272  seq3f1olemp  10275  seq3f1oleml  10276  seq3f1o  10277  seq3id  10281  seq3z  10284  fser0const  10289  leexp2a  10346  expnlbnd2  10417  hashfz  10567  hashfzo  10568  hashfzp1  10570  seq3coll  10585  seq3shft  10610  rexuz3  10762  r19.2uz  10765  cau4  10888  caubnd2  10889  clim  11050  climshft2  11075  climaddc1  11098  climmulc2  11100  climsubc1  11101  climsubc2  11102  clim2ser  11106  clim2ser2  11107  iserex  11108  climlec2  11110  climub  11113  climcau  11116  climcaucn  11120  serf0  11121  sumrbdclem  11146  fsum3cvg  11147  summodclem2a  11150  zsumdc  11153  fsum3  11156  fisumss  11161  fsum3cvg2  11163  fsum3ser  11166  fsumcl2lem  11167  fsumadd  11175  fsumm1  11185  fzosump1  11186  fsum1p  11187  fsump1  11189  fsummulc2  11217  telfsumo  11235  fsumparts  11239  iserabs  11244  binomlem  11252  isumshft  11259  isumsplit  11260  isumrpcl  11263  divcnv  11266  trireciplem  11269  geosergap  11275  geolim2  11281  cvgratnnlemseq  11295  cvgratnnlemabsle  11296  cvgratnnlemsumlt  11297  cvgratnnlemrate  11299  cvgratz  11301  cvgratgt0  11302  mertenslemi1  11304  clim2divap  11309  prodrbdclem  11340  fproddccvg  11341  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  efgt1p2  11401  zsupcllemstep  11638  infssuzex  11642  dvdsbnd  11645  ncoprmgcdne1b  11770  isprm3  11799  prmind2  11801  nprm  11804  dvdsprm  11817  exprmfct  11818  phibndlem  11892  phibnd  11893  dfphi2  11896  hashdvds  11897  supfz  13237