Theorem eluzelz 8698

Description: A member of an upper set of integers is an integer. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelz	|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Proof of Theorem eluzelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 8695	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N ) )
2	1	simp2bi 955	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926   <_ cle 7205   ZZcz 8421   ZZ>=cuz 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-ov 5540  df-neg 7338  df-z 8422  df-uz 8690

This theorem is referenced by:  eluzelre  8699  uztrn  8705  uzneg  8707  uzssz  8708  uzss  8709  eluzp1l  8713  eluzaddi  8715  eluzsubi  8716  eluzadd  8717  eluzsub  8718  uzm1  8719  uzin  8721  uzind4  8746  uz2mulcl  8765  elfz5  9102  elfzel2  9108  elfzelz  9110  eluzfz2  9116  peano2fzr  9121  fzsplit2  9134  fzopth  9144  fzsuc  9151  elfzp1  9154  fzdifsuc  9163  uzsplit  9174  uzdisj  9175  fzm1  9182  fzneuz  9183  uznfz  9185  nn0disj  9214  elfzo3  9238  fzoss2  9247  fzouzsplit  9254  eluzgtdifelfzo  9272  fzosplitsnm1  9284  fzofzp1b  9303  elfzonelfzo  9305  fzosplitsn  9308  fzisfzounsn  9311  mulp1mod1  9436  m1modge3gt1  9442  frec2uzltd  9474  frecfzen2  9498  uzsinds  9507  iseqfveq2  9533  iseqfeq2  9534  iseqshft2  9537  monoord  9540  monoord2  9541  isermono  9542  iseqsplit  9543  iseqid  9552  iseqz  9555  leexp2a  9615  expnlbnd2  9684  rexuz3  10003  r19.2uz  10006  cau4  10129  caubnd2  10130  clim  10247  climshft2  10272  climaddc1  10294  climmulc2  10296  climsubc1  10297  climsubc2  10298  clim2iser  10302  clim2iser2  10303  iiserex  10304  climlec2  10306  climub  10309  climcau  10311  climcaucn  10315  serif0  10316  isumrblem  10326  fisumcvg  10327  zsupcllemstep  10474  infssuzex  10478  dvdsbnd  10481  ncoprmgcdne1b  10604  isprm3  10633  prmind2  10635  nprm  10638  dvdsprm  10651  exprmfct  10652