ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzgtdifelfzo Unicode version

Theorem eluzgtdifelfzo 9155
Description: Membership of the difference of integers in a half-open range of nonnegative integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzgtdifelfzo  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  ->  ( N  -  A )  e.  ( 0..^ ( N  -  B ) ) ) )

Proof of Theorem eluzgtdifelfzo
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  A )
)
21adantl 266 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  A )
)
3 simpl 106 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
43adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  A  e.  ZZ )
5 eluzelz 8578 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  ZZ )
65ad2antrr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
7 simprr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
86, 7zsubcld 8424 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )  ->  ( N  -  B )  e.  ZZ )
98ancoms 259 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  ( N  -  B )  e.  ZZ )
104, 9zaddcld 8423 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  ( A  +  ( N  -  B ) )  e.  ZZ )
11 zre 8306 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
12 zre 8306 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
13 posdif 7524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  <->  0  <  ( A  -  B ) ) )
1413biimpd 136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  0  <  ( A  -  B ) ) )
1511, 12, 14syl2anr 278 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( B  <  A  ->  0  <  ( A  -  B ) ) )
1615adantld 267 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  ->  0  <  ( A  -  B )
) )
1716imp 119 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  0  <  ( A  -  B ) )
18 resubcl 7338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
1912, 11, 18syl2an 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  RR )
2019adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  ( A  -  B )  e.  RR )
21 eluzelre 8579 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  RR )
2221ad2antrl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  N  e.  RR )
2320, 22ltaddposd 7594 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  ( 0  <  ( A  -  B )  <->  N  <  ( N  +  ( A  -  B ) ) ) )
2417, 23mpbid 139 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  N  <  ( N  +  ( A  -  B ) ) )
25 zcn 8307 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
2625ad2antrr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  A  e.  CC )
27 eluzelcn 8580 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  N  e.  CC )
2827ad2antrl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  N  e.  CC )
29 zcn 8307 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
3029adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3130adantr 265 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  B  e.  CC )
32 addsub12 7287 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  ( N  -  B ) )  =  ( N  +  ( A  -  B ) ) )
3332breq2d 3804 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( N  <  ( A  +  ( N  -  B
) )  <->  N  <  ( N  +  ( A  -  B ) ) ) )
3426, 28, 31, 33syl3anc 1146 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  ( N  <  ( A  +  ( N  -  B ) )  <->  N  <  ( N  +  ( A  -  B ) ) ) )
3524, 34mpbird 160 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  N  <  ( A  +  ( N  -  B ) ) )
36 elfzo2 9109 . . . 4  |-  ( N  e.  ( A..^ ( A  +  ( N  -  B ) ) )  <-> 
( N  e.  (
ZZ>= `  A )  /\  ( A  +  ( N  -  B )
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( A  +  ( N  -  B
) ) ) )
372, 10, 35, 36syl3anbrc 1099 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  N  e.  ( A..^ ( A  +  ( N  -  B
) ) ) )
38 fzosubel3 9154 . . 3  |-  ( ( N  e.  ( A..^ ( A  +  ( N  -  B ) ) )  /\  ( N  -  B )  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A )  e.  ( 0..^ ( N  -  B ) ) )
3937, 9, 38syl2anc 397 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A ) )  ->  ( N  -  A )  e.  ( 0..^ ( N  -  B ) ) )
4039ex 112 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  A )  /\  B  <  A )  ->  ( N  -  A )  e.  ( 0..^ ( N  -  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947    + caddc 6950    < clt 7119    - cmin 7245   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569  ..^cfzo 9101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-fz 8977  df-fzo 9102
This theorem is referenced by:  ige2m2fzo  9156
  Copyright terms: Public domain W3C validator