ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzp1m1 Unicode version

Theorem eluzp1m1 9317
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1m1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )

Proof of Theorem eluzp1m1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 9060 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 481 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
3 zre 9026 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
4 zre 9026 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
5 1re 7733 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
6 leaddsub 8168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
75, 6mp3an2 1288 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
83, 4, 7syl2an 287 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
98biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( M  + 
1 )  <_  N
)  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
109anasss 396 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
112, 10jca 304 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )
)  ->  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) )
1211ex 114 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  ( ( N  - 
1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
13 peano2z 9058 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
14 eluz1 9298 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) ) )
1513, 14syl 14 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_  N ) ) )
16 eluz1 9298 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  ( ( N  -  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_  ( N  -  1 ) ) ) )
1712, 15, 163imtr4d 202 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
) ) )
1817imp 123 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RRcr 7587   1c1 7589    + caddc 7591    <_ cle 7769    - cmin 7901   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  peano2uzr  9348  fzosplitsnm1  9954  fzofzp1b  9973  seq3m1  10209  monoord  10217  seq3id  10249  seq3z  10252  serf0  11089  fsumm1  11153  telfsumo  11203  fsumparts  11207  isumsplit  11228  ennnfonelemjn  11842
  Copyright terms: Public domain W3C validator