ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzp1p1 Unicode version

Theorem eluzp1p1 8594
Description: Membership in the next upper set of integers. (Contributed by NM, 5-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
eluzp1p1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )

Proof of Theorem eluzp1p1
StepHypRef Expression
1 peano2z 8338 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
213ad2ant1 936 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
3 peano2z 8338 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
433ad2ant2 937 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
5 zre 8306 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
6 zre 8306 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
7 1re 7084 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
8 leadd1 7499 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
97, 8mp3an3 1232 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
105, 6, 9syl2an 277 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
1110biimp3a 1251 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) )
122, 4, 113jca 1095 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N )  ->  (
( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  1
)  <_  ( N  +  1 ) ) )
13 eluz2 8575 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  <_  N ) )
14 eluz2 8575 . 2  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) )  <->  ( ( M  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
1512, 13, 143imtr4i 194 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 102    /\ w3a 896    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   RRcr 6946   1c1 6948    + caddc 6950    <_ cle 7120   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  uzp1  8602  fzp1elp1  9039  rebtwn2z  9211  iseqfveq2  9392  serif0  10102
  Copyright terms: Public domain W3C validator