ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eluzuzle Unicode version

Theorem eluzuzle 8577
Description: An integer in an upper set of integers is an element of an upper set of integers with a smaller bound. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluzuzle  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  -> 
( C  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )

Proof of Theorem eluzuzle
StepHypRef Expression
1 eluz2 8575 . 2  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  A
)  <->  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )
2 simpll 489 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  e.  ZZ )
3 simpr2 922 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  C  e.  ZZ )
4 zre 8306 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
54ad2antrr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  e.  RR )
6 zre 8306 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
763ad2ant1 936 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C )  ->  A  e.  RR )
87adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  A  e.  RR )
9 zre 8306 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  RR )
1093ad2ant2 937 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C )  ->  C  e.  RR )
1110adantl 266 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  C  e.  RR )
12 simplr 490 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  <_  A
)
13 simpr3 923 . . . . 5  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  A  <_  C
)
145, 8, 11, 12, 13letrd 7199 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  B  <_  C
)
15 eluz2 8575 . . . 4  |-  ( C  e.  ( ZZ>= `  B
)  <->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  B  <_  C ) )
162, 3, 14, 15syl3anbrc 1099 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C ) )  ->  C  e.  (
ZZ>= `  B ) )
1716ex 112 . 2  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  -> 
( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  A  <_  C )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B )
) )
181, 17syl5bi 145 1  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  B  <_  A )  -> 
( C  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  C  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    /\ w3a 896    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930   RRcr 6946    <_ cle 7120   ZZcz 8302   ZZ>=cuz 8569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-pre-ltwlin 7055
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-fv 4938  df-ov 5543  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-neg 7248  df-z 8303  df-uz 8570
This theorem is referenced by:  eluz2nn  8607  uzuzle23  8609  eluzge3nn  8610
  Copyright terms: Public domain W3C validator