Theorem elxp2 4557

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2422	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) )
2		r19.42v 2588	. . . 4 |- ( E. y e. C ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) <-> ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
3		an13 552	. . . . 5 |- ( ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	3	exbii 1584	. . . 4 |- ( E. y ( y e. C /\ ( x e. B /\ A = <. x , y >. ) ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5	1, 2, 4	3bitr3i 209	. . 3 |- ( ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
6	5	exbii 1584	. 2 |- ( E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
7		df-rex 2422	. 2 |- ( E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. <-> E. x ( x e. B /\ E. y e. C A = <. x , y >. ) )
8		elxp 4556	. 2 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x E. y ( A = <. x , y >. /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) )
9	6, 7, 8	3bitr4ri 212	1 |- ( A e. ( B X. C ) <-> E. x e. B E. y e. C A = <. x , y >. )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   X. cxp 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545

This theorem is referenced by:  opelxp  4569  xpiundi  4597  xpiundir  4598  ssrel2  4629  f1o2ndf1  6125  xpdom2  6725  elreal  7636