Theorem en1bg 6694

Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
en1bg	|- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1 6693	. . 3 |- ( A ~~ 1o <-> E. x A = { x } )
2		id 19	. . . . 5 |- ( A = { x } -> A = { x } )
3		unieq 3745	. . . . . . 7 |- ( A = { x } -> U. A = U. { x } )
4		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
5	4	unisn 3752	. . . . . . 7 |- U. { x } = x
6	3, 5	syl6eq 2188	. . . . . 6 |- ( A = { x } -> U. A = x )
7	6	sneqd 3540	. . . . 5 |- ( A = { x } -> { U. A } = { x } )
8	2, 7	eqtr4d 2175	. . . 4 |- ( A = { x } -> A = { U. A } )
9	8	exlimiv 1577	. . 3 |- ( E. x A = { x } -> A = { U. A } )
10	1, 9	sylbi 120	. 2 |- ( A ~~ 1o -> A = { U. A } )
11		uniexg 4361	. . . 4 |- ( A e. V -> U. A e. _V )
12		ensn1g 6691	. . . 4 |- ( U. A e. _V -> { U. A } ~~ 1o )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A e. V -> { U. A } ~~ 1o )
14		breq1 3932	. . 3 |- ( A = { U. A } -> ( A ~~ 1o <-> { U. A } ~~ 1o ) )
15	13, 14	syl5ibrcom 156	. 2 |- ( A e. V -> ( A = { U. A } -> A ~~ 1o ) )
16	10, 15	impbid2 142	1 |- ( A e. V -> ( A ~~ 1o <-> A = { U. A } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   {csn 3527   U.cuni 3736   class class class wbr 3929   1oc1o 6306   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-en 6635

This theorem is referenced by:  en1uniel  6698