ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1bg Unicode version

Theorem en1bg 6347
Description: A set is equinumerous to ordinal one iff it is a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
en1bg  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )

Proof of Theorem en1bg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en1 6346 . . 3  |-  ( A 
~~  1o  <->  E. x  A  =  { x } )
2 id 19 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { x } )
3 unieq 3618 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  U. { x } )
4 vex 2605 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
54unisn 3625 . . . . . . 7  |-  U. {
x }  =  x
63, 5syl6eq 2130 . . . . . 6  |-  ( A  =  { x }  ->  U. A  =  x )
76sneqd 3419 . . . . 5  |-  ( A  =  { x }  ->  { U. A }  =  { x } )
82, 7eqtr4d 2117 . . . 4  |-  ( A  =  { x }  ->  A  =  { U. A } )
98exlimiv 1530 . . 3  |-  ( E. x  A  =  {
x }  ->  A  =  { U. A }
)
101, 9sylbi 119 . 2  |-  ( A 
~~  1o  ->  A  =  { U. A }
)
11 uniexg 4201 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  U. A  e.  _V )
12 ensn1g 6344 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  { U. A }  ~~  1o )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  { U. A }  ~~  1o )
14 breq1 3796 . . 3  |-  ( A  =  { U. A }  ->  ( A  ~~  1o 
<->  { U. A }  ~~  1o ) )
1513, 14syl5ibrcom 155 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  =  { U. A }  ->  A  ~~  1o ) )
1610, 15impbid2 141 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  ~~  1o  <->  A  =  { U. A } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2602   {csn 3406   U.cuni 3609   class class class wbr 3793   1oc1o 6058    ~~ cen 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-suc 4134  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-1o 6065  df-en 6288
This theorem is referenced by:  en1uniel  6351
  Copyright terms: Public domain W3C validator