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Theorem en2lp 4306
Description: No class has 2-cycle membership loops. Theorem 7X(b) of [Enderton] p. 206. (Contributed by NM, 16-Oct-1996.) (Proof rewritten by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
en2lp  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )

Proof of Theorem en2lp
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  A  ->  B  e.  _V )
2 prid2g 3503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  B  e.  { A ,  B } )
3 eldif 2955 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( B  e. 
_V  /\  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
4 pm3.4 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  _V  /\  -.  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  { A ,  B }
) )
53, 4sylbi 118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  ( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
65com12 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  -.  B  e.  { A ,  B } ) )
72, 6mt2d 565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
81, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  A  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
98ad2antlr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
10 simp1r 940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  B  e.  A )
11 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  x  <->  B  e.  x ) )
12 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
1311, 12imbi12d 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  B  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
1413spcgv 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) ) )
1514pm2.43b 50 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
16153ad2ant2 937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
17 eleq2 2117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  A  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  A ) )
1817imbi1d 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
19183ad2ant3 938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( ( B  e.  x  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <-> 
( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) ) )
2016, 19mpbid 139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  ( B  e.  A  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
2110, 20mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  A )  ->  B  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
22213expia 1117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  ( x  =  A  ->  B  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
239, 22mtod 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
24 elex 2583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
25 prid1g 3502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  A  e.  { A ,  B } )
26 eldif 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( A  e. 
_V  /\  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
27 pm3.4 320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  _V  /\  -.  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  { A ,  B }
) )
2826, 27sylbi 118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  ( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
2928com12 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  _V  ->  ( A  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  -.  A  e.  { A ,  B } ) )
3025, 29mt2d 565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  _V  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3124, 30syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  B  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3231adantr 265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
3332adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
34 simp1l 939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  B )
35 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
36 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
3735, 36imbi12d 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
3837spcgv 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  x  ->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) ) )
3938pm2.43b 50 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
40393ad2ant2 937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
41 eleq2 2117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  B  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  B ) )
4241imbi1d 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  <->  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) ) )
43423ad2ant3 938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( ( A  e.  x  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <-> 
( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) ) )
4440, 43mpbid 139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  ( A  e.  B  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
4534, 44mpd 13 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
46453expia 1117 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  ( x  =  B  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
4733, 46mtod 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  x  =  B )
48 ioran 679 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( x  =  A  \/  x  =  B )  <->  ( -.  x  =  A  /\  -.  x  =  B ) )
4923, 47, 48sylanbrc 402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
50 vex 2577 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
51 eldif 2955 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  ( x  e. 
_V  /\  -.  x  e.  { A ,  B } ) )
5250, 51mpbiran 858 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  -.  x  e.  { A ,  B }
)
5350elpr 3424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { A ,  B }  <->  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
5452, 53xchbinx 617 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  <->  -.  ( x  =  A  \/  x  =  B ) )
5549, 54sylibr 141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A
)  /\  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
5655ex 112 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  ( A. y ( y  e.  x  -> 
y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
5756alrimiv 1770 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
58 df-ral 2328 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
59 clelsb3 2158 . . . . . . . . . 10  |-  ( [ y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )
6059imbi2i 219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <->  ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) )
6160albii 1375 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( y  e.  x  ->  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
6258, 61bitri 177 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) ) )
6362imbi1i 231 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )  <->  ( A. y ( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6463albii 1375 . . . . 5  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  <->  A. x ( A. y
( y  e.  x  ->  y  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6557, 64sylibr 141 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x ( A. y  e.  x  [
y  /  x ]
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) ) )
66 ax-setind 4290 . . . 4  |-  ( A. x ( A. y  e.  x  [ y  /  x ] x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )
6765, 66syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
) )
68 eleq1 2116 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  ( _V 
\  { A ,  B } )  <->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
6968spcgv 2657 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B } )  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
7069adantr 265 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  ( A. x  x  e.  ( _V  \  { A ,  B }
)  ->  A  e.  ( _V  \  { A ,  B } ) ) )
7167, 70mpd 13 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  A )  ->  A  e.  ( _V 
\  { A ,  B } ) )
7271, 32pm2.65i 578 1  |-  -.  ( A  e.  B  /\  B  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639    /\ w3a 896   A.wal 1257    = wceq 1259    e. wcel 1409   [wsb 1661   A.wral 2323   _Vcvv 2574    \ cdif 2942   {cpr 3404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-sn 3409  df-pr 3410
This theorem is referenced by:  preleq  4307  suc11g  4309  ordsuc  4315  2pwuninelg  5929  nntri2  6104  nndcel  6109
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