Theorem enfi 6767

Description: Equinumerous sets have the same finiteness. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
enfi	|- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Proof of Theorem enfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enen1 6734	. . 3 |- ( A ~~ B -> ( A ~~ x <-> B ~~ x ) )
2	1	rexbidv 2438	. 2 |- ( A ~~ B -> ( E. x e. om A ~~ x <-> E. x e. om B ~~ x ) )
3		isfi 6655	. 2 |- ( A e. Fin <-> E. x e. om A ~~ x )
4		isfi 6655	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
5	2, 3, 4	3bitr4g 222	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. Fin <-> B e. Fin ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   omcom 4504   ~~ cen 6632   Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  enfii  6768  findcard2  6783  findcard2s  6784  pwf1oexmid  13194