ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0er Unicode version

Theorem enq0er 7211
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is an equivalence relation. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0er  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )

Proof of Theorem enq0er
Dummy variables  f  g  h  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enq0 7200 . . . . 5  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
21relopabi 4635 . . . 4  |-  Rel ~Q0
32a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  Rel ~Q0  )
4 enq0sym 7208 . . . 4  |-  ( f ~Q0  g  ->  g ~Q0  f )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  f ~Q0  g )  ->  g ~Q0  f )
6 enq0tr 7210 . . . 4  |-  ( ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h )  ->  f ~Q0  h )
76adantl 275 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( f ~Q0  g  /\  g ~Q0  h ) )  -> 
f ~Q0  h )
8 enq0ref 7209 . . . 4  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f )
98a1i 9 . . 3  |-  ( T. 
->  ( f  e.  ( om  X.  N. )  <->  f ~Q0  f
) )
103, 5, 7, 9iserd 6423 . 2  |-  ( T. 
-> ~Q0  Er  ( om  X.  N. ) )
1110mptru 1325 1  |- ~Q0  Er  ( om  X.  N. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1316   T. wtru 1317   E.wex 1453    e. wcel 1465   <.cop 3500   class class class wbr 3899   omcom 4474    X. cxp 4507   Rel wrel 4514  (class class class)co 5742    .o comu 6279    Er wer 6394   N.cnpi 7048   ~Q0 ceq0 7062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285  df-omul 6286  df-er 6397  df-ni 7080  df-enq0 7200
This theorem is referenced by:  enq0eceq  7213  nqnq0pi  7214  mulcanenq0ec  7221  nnnq0lem1  7222  addnq0mo  7223  mulnq0mo  7224
  Copyright terms: Public domain W3C validator