Theorem enq0ref 6685

Description: The equivalence relation for non-negative fractions is reflexive. Lemma for enq0er 6687. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0ref	|- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Proof of Theorem enq0ref

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxpi 4387	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) )
2		elxpi 4387	. . . . . 6 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) )
3		ee4anv 1851	. . . . . 6 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) <-> ( E. z E. w ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ E. v E. u ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 408	. . . . 5 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) )
5		eqtr2 2100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> <. z , w >. = <. v , u >. )
6		vex 2605	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
7		vex 2605	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. _V
8	6, 7	opth 4000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. z , w >. = <. v , u >. <-> ( z = v /\ w = u ) )
9	5, 8	sylib 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z = v /\ w = u ) )
10		oveq1 5550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = v -> ( z .o u ) = ( v .o u ) )
11		oveq2 5551	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
12	11	equcoms 1635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = u -> ( v .o u ) = ( v .o w ) )
13	10, 12	sylan9eq 2134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z = v /\ w = u ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
14	9, 13	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( z .o u ) = ( v .o w ) )
15	14	ancli 316	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
16	15	ad2ant2r 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) )
17		pinn 6561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. N. -> w e. om )
18		nnmcom 6133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v e. om /\ w e. om ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
19	17, 18	sylan2 280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( v .o w ) = ( w .o v ) )
20	19	eqeq2d 2093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( v e. om /\ w e. N. ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
21	20	ancoms 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w e. N. /\ v e. om ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
22	21	ad2ant2lr 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. om /\ w e. N. ) /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
23	22	ad2ant2l 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( z .o u ) = ( v .o w ) <-> ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
24	23	anbi2d 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( v .o w ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
25	16, 24	mpbid 145	. . . . . . 7 |- ( ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
26	25	2eximi 1533	. . . . . 6 |- ( E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
27	26	2eximi 1533	. . . . 5 |- ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ ( z e. om /\ w e. N. ) ) /\ ( f = <. v , u >. /\ ( v e. om /\ u e. N. ) ) ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
28	4, 27	syl 14	. . . 4 |- ( f e. ( om X. N. ) -> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) )
29	28	ancli 316	. . 3 |- ( f e. ( om X. N. ) -> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
30		vex 2605	. . . . 5 |- f e. _V
31		eleq1 2142	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( x e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
32	31	anbi1d 453	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
33		eqeq1 2088	. . . . . . . . 9 |- ( x = f -> ( x = <. z , w >. <-> f = <. z , w >. ) )
34	33	anbi1d 453	. . . . . . . 8 |- ( x = f -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
35	34	anbi1d 453	. . . . . . 7 |- ( x = f -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
36	35	4exbidv 1792	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
37	32, 36	anbi12d 457	. . . . 5 |- ( x = f -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
38		eleq1 2142	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( y e. ( om X. N. ) <-> f e. ( om X. N. ) ) )
39	38	anbi2d 452	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) ) )
40		eqeq1 2088	. . . . . . . . 9 |- ( y = f -> ( y = <. v , u >. <-> f = <. v , u >. ) )
41	40	anbi2d 452	. . . . . . . 8 |- ( y = f -> ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) ) )
42	41	anbi1d 453	. . . . . . 7 |- ( y = f -> ( ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
43	42	4exbidv 1792	. . . . . 6 |- ( y = f -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
44	39, 43	anbi12d 457	. . . . 5 |- ( y = f -> ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
45		df-enq0 6676	. . . . 5 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
46	30, 30, 37, 44, 45	brab 4035	. . . 4 |- ( f ~Q0 f <-> ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
47		anidm 388	. . . . 5 |- ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) <-> f e. ( om X. N. ) )
48	47	anbi1i 446	. . . 4 |- ( ( ( f e. ( om X. N. ) /\ f e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
49	46, 48	bitri 182	. . 3 |- ( f ~Q0 f <-> ( f e. ( om X. N. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( f = <. z , w >. /\ f = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
50	29, 49	sylibr 132	. 2 |- ( f e. ( om X. N. ) -> f ~Q0 f )
51	49	simplbi 268	. 2 |- ( f ~Q0 f -> f e. ( om X. N. ) )
52	50, 51	impbii 124	1 |- ( f e. ( om X. N. ) <-> f ~Q0 f )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   E.wex 1422   e. wcel 1434   <.cop 3409   class class class wbr 3793   omcom 4339   X. cxp 4369  (class class class)co 5543   .o comu 6063   N.cnpi 6524   ~_Q0 ceq0 6538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-ni 6556  df-enq0 6676

This theorem is referenced by:  enq0er  6687