ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0sym Unicode version

Theorem enq0sym 6588
Description: The equivalence relation for non-negative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 6591. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
enq0sym  |-  ( f ~Q0  g  ->  g ~Q0  f )

Proof of Theorem enq0sym
Dummy variables  a  b  c  d  u  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
2 vex 2577 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
3 eleq1 2116 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  f  ->  (
x  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
43anbi1d 446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
5 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  f  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  <->  f  =  <. z ,  w >. )
)
65anbi1d 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  f  ->  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
76anbi1d 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
874exbidv 1766 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
94, 8anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  f  ->  (
( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
10 eleq1 2116 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  g  ->  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  <->  g  e.  ( om  X.  N. )
) )
1110anbi2d 445 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  g  ->  (
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
12 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  g  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  <->  g  =  <. v ,  u >. )
)
1312anbi2d 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  g  ->  (
( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. ) ) )
1413anbi1d 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  g  ->  (
( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
15144exbidv 1766 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  g  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
1611, 15anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  g  ->  (
( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
17 df-enq0 6580 . . . . . . . 8  |- ~Q0  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) }
181, 2, 9, 16, 17brab 4037 . . . . . . 7  |-  ( f ~Q0  g  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
1918biimpi 117 . . . . . 6  |-  ( f ~Q0  g  ->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
20 opeq12 3579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  -> 
<. z ,  w >.  = 
<. a ,  b >.
)
2120eqeq2d 2067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( f  =  <. z ,  w >.  <->  f  =  <. a ,  b >.
) )
2221anbi1d 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( ( f  = 
<. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. v ,  u >. )
) )
23 simpl 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  z  =  a )
2423oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( a  .o  u ) )
25 simpr 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  w  =  b )
2625oveq1d 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( w  .o  v
)  =  ( b  .o  v ) )
2724, 26eqeq12d 2070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( a  .o  u
)  =  ( b  .o  v ) ) )
2822, 27anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  a  /\  w  =  b )  ->  ( ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( f  = 
<. a ,  b >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( a  .o  u
)  =  ( b  .o  v ) ) ) )
29 opeq12 3579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  -> 
<. v ,  u >.  = 
<. c ,  d >.
)
3029eqeq2d 2067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  ( g  =  <. v ,  u >.  <->  g  =  <. c ,  d >.
) )
3130anbi2d 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  ( ( f  = 
<. a ,  b >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  <->  ( f  =  <. a ,  b >.  /\  g  =  <. c ,  d
>. ) ) )
32 simpr 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  u  =  d )
3332oveq2d 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  ( a  .o  u
)  =  ( a  .o  d ) )
34 simpl 106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  v  =  c )
3534oveq2d 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  ( b  .o  v
)  =  ( b  .o  c ) )
3633, 35eqeq12d 2070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  ( ( a  .o  u )  =  ( b  .o  v )  <-> 
( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )
3731, 36anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  c  /\  u  =  d )  ->  ( ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( a  .o  u
)  =  ( b  .o  v ) )  <-> 
( ( f  = 
<. a ,  b >.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
3828, 37cbvex4v 1821 . . . . . . 7  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. a E. b E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )
3938anbi2i 438 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( f  =  <. z ,  w >.  /\  g  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. a E. b E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
4019, 39sylib 131 . . . . 5  |-  ( f ~Q0  g  ->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. a E. b E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
41 19.42vv 1804 . . . . 5  |-  ( E. a E. b ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. a E. b E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
4240, 41sylibr 141 . . . 4  |-  ( f ~Q0  g  ->  E. a E. b
( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
43 19.42vv 1804 . . . . 5  |-  ( E. c E. d ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  <->  ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b >.  /\  g  =  <. c ,  d
>. )  /\  (
a  .o  d )  =  ( b  .o  c ) ) ) )
44432exbii 1513 . . . 4  |-  ( E. a E. b E. c E. d ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  <->  E. a E. b
( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. c E. d ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
4542, 44sylibr 141 . . 3  |-  ( f ~Q0  g  ->  E. a E. b E. c E. d ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) ) )
46 pm3.22 256 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  ->  (
g  e.  ( om 
X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) ) )
4746adantr 265 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
48 pm3.22 256 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  <. a ,  b >.  /\  g  =  <. c ,  d
>. )  ->  ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )
)
4948ad2antrl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )
)
50 simprr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( a  .o  d )  =  ( b  .o  c ) )
51 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  <. a ,  b
>.  ->  ( f  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. a ,  b >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
52 opelxp 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( a  e.  om  /\  b  e.  N. )
)
5351, 52syl6bb 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  <. a ,  b
>.  ->  ( f  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( a  e.  om  /\  b  e.  N. )
) )
5453biimpcd 152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( om  X.  N. )  ->  ( f  =  <. a ,  b
>.  ->  ( a  e. 
om  /\  b  e.  N. ) ) )
55 eleq1 2116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  <. c ,  d
>.  ->  ( g  e.  ( om  X.  N. ) 
<-> 
<. c ,  d >.  e.  ( om  X.  N. ) ) )
56 opelxp 4402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <.
c ,  d >.  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( c  e.  om  /\  d  e.  N. )
)
5755, 56syl6bb 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  <. c ,  d
>.  ->  ( g  e.  ( om  X.  N. ) 
<->  ( c  e.  om  /\  d  e.  N. )
) )
5857biimpcd 152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( om  X.  N. )  ->  ( g  =  <. c ,  d
>.  ->  ( c  e. 
om  /\  d  e.  N. ) ) )
5954, 58im2anan9 540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( om 
X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  ->  (
( f  =  <. a ,  b >.  /\  g  =  <. c ,  d
>. )  ->  ( ( a  e.  om  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  om  /\  d  e.  N. )
) ) )
6059imp 119 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( f  = 
<. a ,  b >.  /\  g  =  <. c ,  d >. )
)  ->  ( (
a  e.  om  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  om  /\  d  e.  N. )
) )
6160adantrr 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( (
a  e.  om  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  om  /\  d  e.  N. )
) )
62 pinn 6465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  N.  ->  d  e.  om )
63 nnmcom 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  om  /\  d  e.  om )  ->  ( a  .o  d
)  =  ( d  .o  a ) )
6462, 63sylan2 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  om  /\  d  e.  N. )  ->  ( a  .o  d
)  =  ( d  .o  a ) )
65 pinn 6465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  N.  ->  b  e.  om )
66 nnmcom 6099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  om  /\  c  e.  om )  ->  ( b  .o  c
)  =  ( c  .o  b ) )
6765, 66sylan 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  om )  ->  ( b  .o  c
)  =  ( c  .o  b ) )
6864, 67eqeqan12d 2071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  d  e.  N. )  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  om )
)  ->  ( (
a  .o  d )  =  ( b  .o  c )  <->  ( d  .o  a )  =  ( c  .o  b ) ) )
6968an42s 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  om  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  om  /\  d  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .o  d )  =  ( b  .o  c )  <->  ( d  .o  a )  =  ( c  .o  b ) ) )
7061, 69syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( (
a  .o  d )  =  ( b  .o  c )  <->  ( d  .o  a )  =  ( c  .o  b ) ) )
7150, 70mpbid 139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( d  .o  a )  =  ( c  .o  b ) )
7271eqcomd 2061 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( c  .o  b )  =  ( d  .o  a ) )
7347, 49, 72jca32 297 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  ( (
g  e.  ( om 
X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  (
( g  =  <. c ,  d >.  /\  f  =  <. a ,  b
>. )  /\  (
c  .o  b )  =  ( d  .o  a ) ) ) )
74732eximi 1508 . . . 4  |-  ( E. c E. d ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  (
( g  =  <. c ,  d >.  /\  f  =  <. a ,  b
>. )  /\  (
c  .o  b )  =  ( d  .o  a ) ) ) )
75742eximi 1508 . . 3  |-  ( E. a E. b E. c E. d ( ( f  e.  ( om  X.  N. )  /\  g  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( f  =  <. a ,  b
>.  /\  g  =  <. c ,  d >. )  /\  ( a  .o  d
)  =  ( b  .o  c ) ) )  ->  E. a E. b E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  (
( g  =  <. c ,  d >.  /\  f  =  <. a ,  b
>. )  /\  (
c  .o  b )  =  ( d  .o  a ) ) ) )
7645, 75syl 14 . 2  |-  ( f ~Q0  g  ->  E. a E. b E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) ) )
77 exrot4 1597 . . 3  |-  ( E. a E. b E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  <->  E. c E. d E. a E. b ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) ) )
78 19.42vv 1804 . . . . 5  |-  ( E. a E. b ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  <->  ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d >.  /\  f  =  <. a ,  b
>. )  /\  (
c  .o  b )  =  ( d  .o  a ) ) ) )
79782exbii 1513 . . . 4  |-  ( E. c E. d E. a E. b ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  <->  E. c E. d
( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) ) )
80 19.42vv 1804 . . . . 5  |-  ( E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  <->  ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. c E. d E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) ) )
81 opeq12 3579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  -> 
<. z ,  w >.  = 
<. c ,  d >.
)
8281eqeq2d 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( g  =  <. z ,  w >.  <->  g  =  <. c ,  d >.
) )
8382anbi1d 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( g  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  <->  ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. v ,  u >. )
) )
84 simpl 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  z  =  c )
8584oveq1d 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( z  .o  u
)  =  ( c  .o  u ) )
86 simpr 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  w  =  d )
8786oveq1d 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( w  .o  v
)  =  ( d  .o  v ) )
8885, 87eqeq12d 2070 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v )  <-> 
( c  .o  u
)  =  ( d  .o  v ) ) )
8983, 88anbi12d 450 . . . . . . 7  |-  ( ( z  =  c  /\  w  =  d )  ->  ( ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) )  <-> 
( ( g  = 
<. c ,  d >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( c  .o  u
)  =  ( d  .o  v ) ) ) )
90 opeq12 3579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  -> 
<. v ,  u >.  = 
<. a ,  b >.
)
9190eqeq2d 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  ( f  =  <. v ,  u >.  <->  f  =  <. a ,  b >.
) )
9291anbi2d 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  ( ( g  = 
<. c ,  d >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  <->  ( g  =  <. c ,  d >.  /\  f  =  <. a ,  b
>. ) ) )
93 simpr 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  u  =  b )
9493oveq2d 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  ( c  .o  u
)  =  ( c  .o  b ) )
95 simpl 106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  v  =  a )
9695oveq2d 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  ( d  .o  v
)  =  ( d  .o  a ) )
9794, 96eqeq12d 2070 . . . . . . . 8  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  ( ( c  .o  u )  =  ( d  .o  v )  <-> 
( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )
9892, 97anbi12d 450 . . . . . . 7  |-  ( ( v  =  a  /\  u  =  b )  ->  ( ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( c  .o  u
)  =  ( d  .o  v ) )  <-> 
( ( g  = 
<. c ,  d >.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) ) )
9989, 98cbvex4v 1821 . . . . . 6  |-  ( E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. c E. d E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )
100 eleq1 2116 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  g  ->  (
x  e.  ( om 
X.  N. )  <->  g  e.  ( om  X.  N. )
) )
101100anbi1d 446 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  g  ->  (
( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
102 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  g  ->  (
x  =  <. z ,  w >.  <->  g  =  <. z ,  w >. )
)
103102anbi1d 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  g  ->  (
( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( g  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. ) ) )
104103anbi1d 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  g  ->  (
( ( x  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
g  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
1051044exbidv 1766 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  g  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
106101, 105anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  g  ->  (
( ( x  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
107 eleq1 2116 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  f  ->  (
y  e.  ( om 
X.  N. )  <->  f  e.  ( om  X.  N. )
) )
108107anbi2d 445 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  f  ->  (
( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. ) )  <-> 
( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) ) ) )
109 eqeq1 2062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  f  ->  (
y  =  <. v ,  u >.  <->  f  =  <. v ,  u >. )
)
110109anbi2d 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  f  ->  (
( g  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  <->  ( g  = 
<. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. ) ) )
111110anbi1d 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( g  = 
<. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  (
z  .o  u )  =  ( w  .o  v ) )  <->  ( (
g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) ) ) )
1121114exbidv 1766 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  f  ->  ( E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u )  =  ( w  .o  v
) )  <->  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
113108, 112anbi12d 450 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  f  ->  (
( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  y  e.  ( om  X.  N. )
)  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  <->  ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) ) )
1142, 1, 106, 113, 17brab 4037 . . . . . . 7  |-  ( g ~Q0  f  <->  ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) ) )
115114biimpri 128 . . . . . 6  |-  ( ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( g  =  <. z ,  w >.  /\  f  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .o  u
)  =  ( w  .o  v ) ) )  ->  g ~Q0  f )
11699, 115sylan2br 276 . . . . 5  |-  ( ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. c E. d E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  ->  g ~Q0  f )
11780, 116sylbi 118 . . . 4  |-  ( E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  E. a E. b ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  ->  g ~Q0  f )
11879, 117sylbi 118 . . 3  |-  ( E. c E. d E. a E. b ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  ->  g ~Q0  f )
11977, 118sylbi 118 . 2  |-  ( E. a E. b E. c E. d ( ( g  e.  ( om  X.  N. )  /\  f  e.  ( om  X.  N. ) )  /\  ( ( g  =  <. c ,  d
>.  /\  f  =  <. a ,  b >. )  /\  ( c  .o  b
)  =  ( d  .o  a ) ) )  ->  g ~Q0  f )
12076, 119syl 14 1  |-  ( f ~Q0  g  ->  g ~Q0  f )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792   omcom 4341    X. cxp 4371  (class class class)co 5540    .o comu 6030   N.cnpi 6428   ~Q0 ceq0 6442
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-ni 6460  df-enq0 6580
This theorem is referenced by:  enq0er  6591
  Copyright terms: Public domain W3C validator