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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > enq0sym | Unicode version |
Description: The equivalence relation for nonnegative fractions is symmetric. Lemma for enq0er 7211. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Nov-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
enq0sym | ~Q0 ~Q0 |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | vex 2663 | . . . . . . . 8 | |
2 | vex 2663 | . . . . . . . 8 | |
3 | eleq1 2180 | . . . . . . . . . 10 | |
4 | 3 | anbi1d 460 | . . . . . . . . 9 |
5 | eqeq1 2124 | . . . . . . . . . . . 12 | |
6 | 5 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . . 11 |
7 | 6 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
8 | 7 | 4exbidv 1826 | . . . . . . . . 9 |
9 | 4, 8 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
10 | eleq1 2180 | . . . . . . . . . 10 | |
11 | 10 | anbi2d 459 | . . . . . . . . 9 |
12 | eqeq1 2124 | . . . . . . . . . . . 12 | |
13 | 12 | anbi2d 459 | . . . . . . . . . . 11 |
14 | 13 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
15 | 14 | 4exbidv 1826 | . . . . . . . . 9 |
16 | 11, 15 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
17 | df-enq0 7200 | . . . . . . . 8 ~Q0 | |
18 | 1, 2, 9, 16, 17 | brab 4164 | . . . . . . 7 ~Q0 |
19 | 18 | biimpi 119 | . . . . . 6 ~Q0 |
20 | opeq12 3677 | . . . . . . . . . . 11 | |
21 | 20 | eqeq2d 2129 | . . . . . . . . . 10 |
22 | 21 | anbi1d 460 | . . . . . . . . 9 |
23 | simpl 108 | . . . . . . . . . . 11 | |
24 | 23 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . . 10 |
25 | simpr 109 | . . . . . . . . . . 11 | |
26 | 25 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . . 10 |
27 | 24, 26 | eqeq12d 2132 | . . . . . . . . 9 |
28 | 22, 27 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
29 | opeq12 3677 | . . . . . . . . . . 11 | |
30 | 29 | eqeq2d 2129 | . . . . . . . . . 10 |
31 | 30 | anbi2d 459 | . . . . . . . . 9 |
32 | simpr 109 | . . . . . . . . . . 11 | |
33 | 32 | oveq2d 5758 | . . . . . . . . . 10 |
34 | simpl 108 | . . . . . . . . . . 11 | |
35 | 34 | oveq2d 5758 | . . . . . . . . . 10 |
36 | 33, 35 | eqeq12d 2132 | . . . . . . . . 9 |
37 | 31, 36 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
38 | 28, 37 | cbvex4v 1882 | . . . . . . 7 |
39 | 38 | anbi2i 452 | . . . . . 6 |
40 | 19, 39 | sylib 121 | . . . . 5 ~Q0 |
41 | 19.42vv 1865 | . . . . 5 | |
42 | 40, 41 | sylibr 133 | . . . 4 ~Q0 |
43 | 19.42vv 1865 | . . . . 5 | |
44 | 43 | 2exbii 1570 | . . . 4 |
45 | 42, 44 | sylibr 133 | . . 3 ~Q0 |
46 | pm3.22 263 | . . . . . . 7 | |
47 | 46 | adantr 274 | . . . . . 6 |
48 | pm3.22 263 | . . . . . . 7 | |
49 | 48 | ad2antrl 481 | . . . . . 6 |
50 | simprr 506 | . . . . . . . 8 | |
51 | eleq1 2180 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
52 | opelxp 4539 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
53 | 51, 52 | syl6bb 195 | . . . . . . . . . . . . 13 |
54 | 53 | biimpcd 158 | . . . . . . . . . . . 12 |
55 | eleq1 2180 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
56 | opelxp 4539 | . . . . . . . . . . . . . 14 | |
57 | 55, 56 | syl6bb 195 | . . . . . . . . . . . . 13 |
58 | 57 | biimpcd 158 | . . . . . . . . . . . 12 |
59 | 54, 58 | im2anan9 572 | . . . . . . . . . . 11 |
60 | 59 | imp 123 | . . . . . . . . . 10 |
61 | 60 | adantrr 470 | . . . . . . . . 9 |
62 | pinn 7085 | . . . . . . . . . . . 12 | |
63 | nnmcom 6353 | . . . . . . . . . . . 12 | |
64 | 62, 63 | sylan2 284 | . . . . . . . . . . 11 |
65 | pinn 7085 | . . . . . . . . . . . 12 | |
66 | nnmcom 6353 | . . . . . . . . . . . 12 | |
67 | 65, 66 | sylan 281 | . . . . . . . . . . 11 |
68 | 64, 67 | eqeqan12d 2133 | . . . . . . . . . 10 |
69 | 68 | an42s 563 | . . . . . . . . 9 |
70 | 61, 69 | syl 14 | . . . . . . . 8 |
71 | 50, 70 | mpbid 146 | . . . . . . 7 |
72 | 71 | eqcomd 2123 | . . . . . 6 |
73 | 47, 49, 72 | jca32 308 | . . . . 5 |
74 | 73 | 2eximi 1565 | . . . 4 |
75 | 74 | 2eximi 1565 | . . 3 |
76 | 45, 75 | syl 14 | . 2 ~Q0 |
77 | exrot4 1654 | . . 3 | |
78 | 19.42vv 1865 | . . . . 5 | |
79 | 78 | 2exbii 1570 | . . . 4 |
80 | 19.42vv 1865 | . . . . 5 | |
81 | opeq12 3677 | . . . . . . . . . 10 | |
82 | 81 | eqeq2d 2129 | . . . . . . . . 9 |
83 | 82 | anbi1d 460 | . . . . . . . 8 |
84 | simpl 108 | . . . . . . . . . 10 | |
85 | 84 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . 9 |
86 | simpr 109 | . . . . . . . . . 10 | |
87 | 86 | oveq1d 5757 | . . . . . . . . 9 |
88 | 85, 87 | eqeq12d 2132 | . . . . . . . 8 |
89 | 83, 88 | anbi12d 464 | . . . . . . 7 |
90 | opeq12 3677 | . . . . . . . . . 10 | |
91 | 90 | eqeq2d 2129 | . . . . . . . . 9 |
92 | 91 | anbi2d 459 | . . . . . . . 8 |
93 | simpr 109 | . . . . . . . . . 10 | |
94 | 93 | oveq2d 5758 | . . . . . . . . 9 |
95 | simpl 108 | . . . . . . . . . 10 | |
96 | 95 | oveq2d 5758 | . . . . . . . . 9 |
97 | 94, 96 | eqeq12d 2132 | . . . . . . . 8 |
98 | 92, 97 | anbi12d 464 | . . . . . . 7 |
99 | 89, 98 | cbvex4v 1882 | . . . . . 6 |
100 | eleq1 2180 | . . . . . . . . . 10 | |
101 | 100 | anbi1d 460 | . . . . . . . . 9 |
102 | eqeq1 2124 | . . . . . . . . . . . 12 | |
103 | 102 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . . 11 |
104 | 103 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
105 | 104 | 4exbidv 1826 | . . . . . . . . 9 |
106 | 101, 105 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
107 | eleq1 2180 | . . . . . . . . . 10 | |
108 | 107 | anbi2d 459 | . . . . . . . . 9 |
109 | eqeq1 2124 | . . . . . . . . . . . 12 | |
110 | 109 | anbi2d 459 | . . . . . . . . . . 11 |
111 | 110 | anbi1d 460 | . . . . . . . . . 10 |
112 | 111 | 4exbidv 1826 | . . . . . . . . 9 |
113 | 108, 112 | anbi12d 464 | . . . . . . . 8 |
114 | 2, 1, 106, 113, 17 | brab 4164 | . . . . . . 7 ~Q0 |
115 | 114 | biimpri 132 | . . . . . 6 ~Q0 |
116 | 99, 115 | sylan2br 286 | . . . . 5 ~Q0 |
117 | 80, 116 | sylbi 120 | . . . 4 ~Q0 |
118 | 79, 117 | sylbi 120 | . . 3 ~Q0 |
119 | 77, 118 | sylbi 120 | . 2 ~Q0 |
120 | 76, 119 | syl 14 | 1 ~Q0 ~Q0 |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: wi 4 wa 103 wb 104 wceq 1316 wex 1453 wcel 1465 cop 3500 class class class wbr 3899 com 4474 cxp 4507 (class class class)co 5742 comu 6279 cnpi 7048 ~Q0 ceq0 7062 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 588 ax-in2 589 ax-io 683 ax-5 1408 ax-7 1409 ax-gen 1410 ax-ie1 1454 ax-ie2 1455 ax-8 1467 ax-10 1468 ax-11 1469 ax-i12 1470 ax-bndl 1471 ax-4 1472 ax-13 1476 ax-14 1477 ax-17 1491 ax-i9 1495 ax-ial 1499 ax-i5r 1500 ax-ext 2099 ax-coll 4013 ax-sep 4016 ax-nul 4024 ax-pow 4068 ax-pr 4101 ax-un 4325 ax-setind 4422 ax-iinf 4472 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 949 df-tru 1319 df-fal 1322 df-nf 1422 df-sb 1721 df-eu 1980 df-mo 1981 df-clab 2104 df-cleq 2110 df-clel 2113 df-nfc 2247 df-ne 2286 df-ral 2398 df-rex 2399 df-reu 2400 df-rab 2402 df-v 2662 df-sbc 2883 df-csb 2976 df-dif 3043 df-un 3045 df-in 3047 df-ss 3054 df-nul 3334 df-pw 3482 df-sn 3503 df-pr 3504 df-op 3506 df-uni 3707 df-int 3742 df-iun 3785 df-br 3900 df-opab 3960 df-mpt 3961 df-tr 3997 df-id 4185 df-iord 4258 df-on 4260 df-suc 4263 df-iom 4475 df-xp 4515 df-rel 4516 df-cnv 4517 df-co 4518 df-dm 4519 df-rn 4520 df-res 4521 df-ima 4522 df-iota 5058 df-fun 5095 df-fn 5096 df-f 5097 df-f1 5098 df-fo 5099 df-f1o 5100 df-fv 5101 df-ov 5745 df-oprab 5746 df-mpo 5747 df-1st 6006 df-2nd 6007 df-recs 6170 df-irdg 6235 df-oadd 6285 df-omul 6286 df-ni 7080 df-enq0 7200 |
This theorem is referenced by: enq0er 7211 |
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