Theorem enqer 7159

Description: The equivalence relation for positive fractions is an equivalence relation. Proposition 9-2.1 of [Gleason] p. 117. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enqer	|- ~Q Er ( N. X. N. )

Proof of Theorem enqer

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 7148	. 2 |- ~Q = { <. x , y >. | ( ( x e. ( N. X. N. ) /\ y e. ( N. X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .N u ) = ( w .N v ) ) ) }
2		mulcompig 7132	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
3		mulclpi 7129	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) e. N. )
4		mulasspig 7133	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N z ) = ( x .N ( y .N z ) ) )
5		mulcanpig 7136	. . 3 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) <-> y = z ) )
6	5	biimpd 143	. 2 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. /\ z e. N. ) -> ( ( x .N y ) = ( x .N z ) -> y = z ) )
7	1, 2, 3, 4, 6	ecopoverg 6523	1 |- ~Q Er ( N. X. N. )

Syntax hints:   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   X. cxp 4532  (class class class)co 5767   Er wer 6419   N.cnpi 7073   .N cmi 7075   ~Q ceq 7080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ni 7105  df-mi 7107  df-enq 7148

This theorem is referenced by:  enqeceq  7160  0nnq  7165  addpipqqs  7171  mulpipqqs  7174  ordpipqqs  7175  mulcanenqec  7187