ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enqex Unicode version

Theorem enqex 6612
Description: The equivalence relation for positive fractions exists. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
enqex  |-  ~Q  e.  _V

Proof of Theorem enqex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 niex 6564 . . . 4  |-  N.  e.  _V
21, 1xpex 4481 . . 3  |-  ( N. 
X.  N. )  e.  _V
32, 2xpex 4481 . 2  |-  ( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )  e.  _V
4 df-enq 6599 . . 3  |-  ~Q  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }
5 opabssxp 4440 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  .N  u
)  =  ( w  .N  v ) ) ) }  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
64, 5eqsstri 3030 . 2  |-  ~Q  C_  (
( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
73, 6ssexi 3924 1  |-  ~Q  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2602   <.cop 3409   {copab 3846    X. cxp 4369  (class class class)co 5543   N.cnpi 6524    .N cmi 6526    ~Q ceq 6531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-opab 3848  df-iom 4340  df-xp 4377  df-ni 6556  df-enq 6599
This theorem is referenced by:  1nq  6618  addpipqqs  6622  mulpipqqs  6625  ordpipqqs  6626  addclnq  6627  mulclnq  6628  dmaddpq  6631  dmmulpq  6632  recexnq  6642  ltexnqq  6660  prarloclemarch  6670  prarloclemarch2  6671  nnnq  6674  nqpnq0nq  6705  prarloclemlt  6745  prarloclemlo  6746  prarloclemcalc  6754  nqprm  6794
  Copyright terms: Public domain W3C validator