ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enrer Unicode version

Theorem enrer 7051
Description: The equivalence relation for signed reals is an equivalence relation. Proposition 9-4.1 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
enrer  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )

Proof of Theorem enrer
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-enr 7042 . 2  |-  ~R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( P. 
X.  P. )  /\  y  e.  ( P.  X.  P. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  +P.  u
)  =  ( w  +P.  v ) ) ) }
2 addcomprg 6907 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  y
)  =  ( y  +P.  x ) )
3 addclpr 6866 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( x  +P.  y
)  e.  P. )
4 addassprg 6908 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  +P.  y
)  +P.  z )  =  ( x  +P.  ( y  +P.  z
) ) )
5 addcanprg 6945 . 2  |-  ( ( x  e.  P.  /\  y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  (
( x  +P.  y
)  =  ( x  +P.  z )  -> 
y  =  z ) )
61, 2, 3, 4, 5ecopoverg 6296 1  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    X. cxp 4390    Er wer 6192   P.cnp 6620    +P. cpp 6622    ~R cer 6625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2613  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-eprel 4073  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-ov 5568  df-oprab 5569  df-mpt2 5570  df-1st 5820  df-2nd 5821  df-recs 5976  df-irdg 6041  df-1o 6087  df-2o 6088  df-oadd 6091  df-omul 6092  df-er 6195  df-ec 6197  df-qs 6201  df-ni 6633  df-pli 6634  df-mi 6635  df-lti 6636  df-plpq 6673  df-mpq 6674  df-enq 6676  df-nqqs 6677  df-plqqs 6678  df-mqqs 6679  df-1nqqs 6680  df-rq 6681  df-ltnqqs 6682  df-enq0 6753  df-nq0 6754  df-0nq0 6755  df-plq0 6756  df-mq0 6757  df-inp 6795  df-iplp 6797  df-enr 7042
This theorem is referenced by:  enreceq  7052  prsrlem1  7058  addsrmo  7059  mulsrmo  7060  ltsrprg  7063  gt0srpr  7064  0nsr  7065  axcnex  7166
  Copyright terms: Public domain W3C validator