Theorem enrex 7538

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	|- ~R e. _V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 7274	. . . 4 |- P. e. _V
2	1, 1	xpex 4649	. . 3 |- ( P. X. P. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4649	. 2 |- ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) ) e. _V
4		df-enr 7527	. . 3 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
5		opabssxp 4608	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) } C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
6	4, 5	eqsstri 3124	. 2 |- ~R C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
7	3, 6	ssexi 4061	1 |- ~R e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   _Vcvv 2681   <.cop 3525   {copab 3983   X. cxp 4532  (class class class)co 5767   P.cnp 7092   +P. cpp 7094   ~R cer 7097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-qs 6428  df-ni 7105  df-nqqs 7149  df-inp 7267  df-enr 7527

This theorem is referenced by:  addsrpr  7546  mulsrpr  7547  ltsrprg  7548  0r  7551  1sr  7552  m1r  7553  addclsr  7554  mulclsr  7555  recexgt0sr  7574  prsrcl  7585  ltpsrprg  7604  mappsrprg  7605  suplocsrlemb  7607  pitonnlem2  7648  pitonn  7649  pitore  7651  recnnre  7652