ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enrex Unicode version

Theorem enrex 6880
Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
enrex  |-  ~R  e.  _V

Proof of Theorem enrex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npex 6629 . . . 4  |-  P.  e.  _V
21, 1xpex 4481 . . 3  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
32, 2xpex 4481 . 2  |-  ( ( P.  X.  P. )  X.  ( P.  X.  P. ) )  e.  _V
4 df-enr 6869 . . 3  |-  ~R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( P. 
X.  P. )  /\  y  e.  ( P.  X.  P. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  +P.  u
)  =  ( w  +P.  v ) ) ) }
5 opabssxp 4442 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( P.  X.  P. )  /\  y  e.  ( P.  X.  P. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  +P.  u
)  =  ( w  +P.  v ) ) ) }  C_  (
( P.  X.  P. )  X.  ( P.  X.  P. ) )
64, 5eqsstri 3003 . 2  |-  ~R  C_  (
( P.  X.  P. )  X.  ( P.  X.  P. ) )
73, 6ssexi 3923 1  |-  ~R  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 101    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   _Vcvv 2574   <.cop 3406   {copab 3845    X. cxp 4371  (class class class)co 5540   P.cnp 6447    +P. cpp 6449    ~R cer 6452
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-id 4058  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-qs 6143  df-ni 6460  df-nqqs 6504  df-inp 6622  df-enr 6869
This theorem is referenced by:  addsrpr  6888  mulsrpr  6889  ltsrprg  6890  0r  6893  1sr  6894  m1r  6895  addclsr  6896  mulclsr  6897  recexgt0sr  6916  prsrcl  6926  pitonnlem2  6981  pitonn  6982  pitore  6984  recnnre  6985
  Copyright terms: Public domain W3C validator