Theorem entr 6352

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6347	. . . 4 |- ~~ Er _V
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( T. -> ~~ Er _V )
3	2	ertr 6208	. 2 |- ( T. -> ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C ) )
4	3	trud 1294	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~~ C ) -> A ~~ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   T. wtru 1286   _Vcvv 2610   class class class wbr 3805   Er wer 6190   ~~ cen 6306

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-er 6193  df-en 6309

This theorem is referenced by:  entri  6354  en2sn  6379  xpsnen2g  6394  enen1  6402  enen2  6403  phplem4  6411  snnen2og  6415  php5dom  6419  phplem4on  6423  dif1en  6435  dif1enen  6436  fisbth  6439  diffisn  6449  unsnfidcex  6464  unsnfidcel  6465  f1finf1o  6486  en1eqsn  6487  carden2bex  6569  pm54.43  6570  pr2ne  6572  frecfzen2  9561  hashunlem  9880  hashxp  9902  1nprm  10703  hashdvds  10804  unennn  10817