ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqreznegel Unicode version

Theorem eqreznegel 8646
Description: Two ways to express the image under negation of a set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
eqreznegel  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  =  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A } )
Distinct variable group:    z, A

Proof of Theorem eqreznegel
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2967 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( -u w  e.  A  ->  -u w  e.  ZZ )
)
2 recn 7072 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  RR  ->  w  e.  CC )
3 negid 7321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  -u w
)  =  0 )
4 0z 8313 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ZZ
53, 4syl6eqel 2144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  CC  ->  (
w  +  -u w
)  e.  ZZ )
65pm4.71i 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  CC  <->  ( w  e.  CC  /\  ( w  +  -u w )  e.  ZZ ) )
7 zrevaddcl 8352 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( ( w  e.  CC  /\  ( w  +  -u w )  e.  ZZ ) 
<->  w  e.  ZZ ) )
86, 7syl5bb 185 . . . . . . . . 9  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( w  e.  CC  <->  w  e.  ZZ ) )
92, 8syl5ib 147 . . . . . . . 8  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( w  e.  RR  ->  w  e.  ZZ ) )
101, 9syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( -u w  e.  A  ->  ( w  e.  RR  ->  w  e.  ZZ ) ) )
1110com23 76 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( w  e.  RR  ->  ( -u w  e.  A  ->  w  e.  ZZ )
) )
1211impd 246 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  w  e.  ZZ ) )
13 simpr 107 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  -u w  e.  A
)
1413a1i 9 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  -u w  e.  A
) )
1512, 14jcad 295 . . . 4  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  ->  ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A ) ) )
16 zre 8306 . . . . 5  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
1716anim1i 327 . . . 4  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A )  ->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
1815, 17impbid1 134 . . 3  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A )  <-> 
( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A
) ) )
19 negeq 7267 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  -u z  =  -u w )
2019eleq1d 2122 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( -u z  e.  A  <->  -u w  e.  A ) )
2120elrab 2721 . . 3  |-  ( w  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  ( w  e.  RR  /\  -u w  e.  A ) )
2220elrab 2721 . . 3  |-  ( w  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A }  <->  ( w  e.  ZZ  /\  -u w  e.  A ) )
2318, 21, 223bitr4g 216 . 2  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  ( w  e.  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  <->  w  e.  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A }
) )
2423eqrdv 2054 1  |-  ( A 
C_  ZZ  ->  { z  e.  RR  |  -u z  e.  A }  =  { z  e.  ZZ  |  -u z  e.  A } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    = wceq 1259    e. wcel 1409   {crab 2327    C_ wss 2945  (class class class)co 5540   CCcc 6945   RRcr 6946   0cc0 6947    + caddc 6950   -ucneg 7246   ZZcz 8302
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-addcom 7042  ax-addass 7044  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-ltadd 7058
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator