Theorem eqsuptid 6884

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqsuptid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqsuptid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
eqsuptid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )

Assertion

Ref	Expression
eqsuptid	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v, y   y, C, u, v   u, B, v, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( z)

Proof of Theorem eqsuptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsuptid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqsuptid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
3	2	ralrimiva 2505	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. C R y )
4		eqsuptid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5	4	expr 372	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
6	5	ralrimiva 2505	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7		supmoti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqsupti 6883	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1318	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   class class class wbr 3929   supcsup 6869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-riota 5730  df-sup 6871

This theorem is referenced by:  supmaxti  6891  supisoti  6897  xrmaxaddlem  11029  dfgcd2  11702