Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucialg Unicode version

Theorem eucialg 10648
 Description: Euclid's Algorithm computes the greatest common divisor of two nonnegative integers by repeatedly replacing the larger of them with its remainder modulo the smaller until the remainder is 0. Theorem 1.15 in [ApostolNT] p. 20. Upon halting, the 1st member of the final state is equal to the gcd of the values comprising the input state . This is Metamath 100 proof #69 (greatest common divisor algorithm). (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucialg.2
eucialgcvga.3
eucialg.3
Assertion
Ref Expression
eucialg
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)

Proof of Theorem eucialg
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 8786 . . . . . . . 8
2 eucialg.2 . . . . . . . 8
3 0zd 8496 . . . . . . . 8
4 eucialg.3 . . . . . . . . 9
5 opelxpi 4422 . . . . . . . . 9
64, 5syl5eqel 2169 . . . . . . . 8
7 eucalgval.1 . . . . . . . . . 10
87eucalgf 10644 . . . . . . . . 9
98a1i 9 . . . . . . . 8
10 nn0ex 8413 . . . . . . . . . 10
1110, 10xpex 4501 . . . . . . . . 9
1211a1i 9 . . . . . . . 8
131, 2, 3, 6, 9, 12ialgrf 10634 . . . . . . 7
14 ffvelrn 5352 . . . . . . 7
1513, 14sylancom 411 . . . . . 6
16 1st2nd2 5852 . . . . . 6
1715, 16syl 14 . . . . 5
1817fveq2d 5233 . . . 4
19 df-ov 5566 . . . 4
2018, 19syl6eqr 2133 . . 3
214fveq2i 5232 . . . . . . . 8
22 op2ndg 5829 . . . . . . . 8
2321, 22syl5eq 2127 . . . . . . 7
2423fveq2d 5233 . . . . . 6
2524fveq2d 5233 . . . . 5
26 xp2nd 5844 . . . . . . . . 9
2726nn0zd 8600 . . . . . . . 8
28 uzid 8766 . . . . . . . 8
2927, 28syl 14 . . . . . . 7
30 eqid 2083 . . . . . . . 8
317, 2, 30eucialgcvga 10647 . . . . . . 7
3229, 31mpd 13 . . . . . 6
336, 32syl 14 . . . . 5
3425, 33eqtr3d 2117 . . . 4
3534oveq2d 5579 . . 3
36 xp1st 5843 . . . 4
37 nn0gcdid0 10579 . . . 4
3815, 36, 373syl 17 . . 3
3920, 35, 383eqtrrd 2120 . 2
40 gcdf 10571 . . . . . . 7
41 ffn 5097 . . . . . . 7
4240, 41ax-mp 7 . . . . . 6
43 nn0ssz 8502 . . . . . . 7
44 xpss12 4493 . . . . . . 7
4543, 43, 44mp2an 417 . . . . . 6
46 fnssres 5063 . . . . . 6
4742, 45, 46mp2an 417 . . . . 5
487eucalginv 10645 . . . . . 6
498ffvelrni 5353 . . . . . . 7
50 fvres 5250 . . . . . . 7
5149, 50syl 14 . . . . . 6
52 fvres 5250 . . . . . 6
5348, 51, 523eqtr4d 2125 . . . . 5
542, 8, 47, 53, 11ialginv 10636 . . . 4
556, 54sylancom 411 . . 3
56 fvres 5250 . . . 4
5715, 56syl 14 . . 3
58 0nn0 8422 . . . . 5
59 ffvelrn 5352 . . . . 5
6013, 58, 59sylancl 404 . . . 4
61 fvres 5250 . . . 4
6260, 61syl 14 . . 3
6355, 57, 623eqtr3d 2123 . 2
641, 2, 3, 6, 9, 12ialgr0 10633 . . . . 5
6564, 4syl6eq 2131 . . . 4
6665fveq2d 5233 . . 3
67 df-ov 5566 . . 3
6866, 67syl6eqr 2133 . 2
6939, 63, 683eqtrd 2119 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1285   wcel 1434  cvv 2610   wss 2982  cif 3368  csn 3416  cop 3419   cxp 4389   cres 4393   ccom 4395   wfn 4947  wf 4948  cfv 4952  (class class class)co 5563   cmpt2 5565  c1st 5816  c2nd 5817  cc0 7095  cn0 8407  cz 8484  cuz 8752   cmo 9456   cseq 9573   cgcd 10545 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator