Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eucialgcvga Unicode version

Theorem eucialgcvga 10665
 Description: Once Euclid's Algorithm halts after steps, the second element of the state remains 0 . (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eucalgval.1
eucialg.2
eucialgcvga.3
Assertion
Ref Expression
eucialgcvga
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)

Proof of Theorem eucialgcvga
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucialgcvga.3 . . . . . . 7
2 xp2nd 5845 . . . . . . 7
31, 2syl5eqel 2169 . . . . . 6
4 eluznn0 8837 . . . . . 6
53, 4sylan 277 . . . . 5
6 nn0uz 8804 . . . . . . 7
7 eucialg.2 . . . . . . 7
8 0zd 8514 . . . . . . 7
9 id 19 . . . . . . 7
10 eucalgval.1 . . . . . . . . 9
1110eucalgf 10662 . . . . . . . 8
1211a1i 9 . . . . . . 7
13 nn0ex 8431 . . . . . . . . 9
1413, 13xpex 4501 . . . . . . . 8
1514a1i 9 . . . . . . 7
166, 7, 8, 9, 12, 15ialgrf 10652 . . . . . 6
1716ffvelrnda 5355 . . . . 5
185, 17syldan 276 . . . 4
19 fvres 5251 . . . 4
2018, 19syl 14 . . 3
21 simpl 107 . . . 4
22 fvres 5251 . . . . . . . 8
2322, 1syl6eqr 2133 . . . . . . 7
2423fveq2d 5234 . . . . . 6
2524eleq2d 2152 . . . . 5
2625biimpar 291 . . . 4
27 f2ndres 5839 . . . . 5
2810eucalglt 10664 . . . . . 6
2911ffvelrni 5354 . . . . . . . 8
30 fvres 5251 . . . . . . . 8
3129, 30syl 14 . . . . . . 7
3231neeq1d 2267 . . . . . 6
33 fvres 5251 . . . . . . 7
3431, 33breq12d 3818 . . . . . 6
3528, 32, 343imtr4d 201 . . . . 5
36 eqid 2083 . . . . 5
3711, 7, 27, 35, 36, 14ialgcvga 10658 . . . 4
3821, 26, 37sylc 61 . . 3
3920, 38eqtr3d 2117 . 2
4039ex 113 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 102   wceq 1285   wcel 1434   wne 2249  cvv 2610  cif 3368  csn 3416  cop 3419   class class class wbr 3805   cxp 4389   cres 4393   ccom 4395  wf 4948  cfv 4952  (class class class)co 5564   cmpt2 5566  c1st 5817  c2nd 5818  cc0 7113   clt 7285  cn0 8425  cuz 8770   cmo 9474   cseq 9591 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-uz 8771  df-q 8856  df-rp 8886  df-fl 9422  df-mod 9475  df-iseq 9592 This theorem is referenced by:  eucialg  10666
 Copyright terms: Public domain W3C validator