Theorem euclemma 11824

Description: Euclid's lemma. A prime number divides the product of two integers iff it divides at least one of them. Theorem 1.9 in [ApostolNT] p. 17. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
euclemma	|- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) <-> ( P || M \/ P || N ) ) )

Proof of Theorem euclemma

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coprm 11822	. . . . . . 7 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ ) -> ( -. P || M <-> ( P gcd M ) = 1 ) )
2	1	3adant3 1001	. . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( -. P || M <-> ( P gcd M ) = 1 ) )
3	2	anbi2d 459	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ -. P || M ) <-> ( P || ( M x. N ) /\ ( P gcd M ) = 1 ) ) )
4		prmz 11792	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
5		coprmdvds 11773	. . . . . 6 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ ( P gcd M ) = 1 ) -> P || N ) )
6	4, 5	syl3an1 1249	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ ( P gcd M ) = 1 ) -> P || N ) )
7	3, 6	sylbid 149	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || ( M x. N ) /\ -. P || M ) -> P || N ) )
8	7	expd 256	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) -> ( -. P || M -> P || N ) ) )
9		prmnn 11791	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
10	9	3ad2ant1 1002	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> P e. NN )
11		simp2 982	. . . . 5 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. ZZ )
12		dvdsdc 11501	. . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ M e. ZZ ) -> DECID P || M )
13	10, 11, 12	syl2anc 408	. . . 4 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID P || M )
14		dfordc 877	. . . 4 |- (DECID P || M -> ( ( P || M \/ P || N ) <-> ( -. P || M -> P || N ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || M \/ P || N ) <-> ( -. P || M -> P || N ) ) )
16	8, 15	sylibrd 168	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) -> ( P || M \/ P || N ) ) )
17		ordvdsmul 11534	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || M \/ P || N ) -> P || ( M x. N ) ) )
18	4, 17	syl3an1 1249	. 2 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( P || M \/ P || N ) -> P || ( M x. N ) ) )
19	16, 18	impbid 128	1 |- ( ( P e. Prime /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( P || ( M x. N ) <-> ( P || M \/ P || N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   1c1 7621   x. cmul 7625   NNcn 8720   ZZcz 9054   || cdvds 11493   gcd cgcd 11635   Primecprime 11788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-sup 6871  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-fl 10043  df-mod 10096  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-dvds 11494  df-gcd 11636  df-prm 11789

This theorem is referenced by:  isprm6  11825  prmdvdsexp  11826  prmfac1  11830  sqpweven  11853  2sqpwodd  11854