Theorem euen1b 6697

Description: Two ways to express " A has a unique element". (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
euen1b	|- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem euen1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euen1 6696	. 2 |- ( E! x x e. A <-> { x | x e. A } ~~ 1o )
2		abid2 2260	. . 3 |- { x | x e. A } = A
3	2	breq1i 3936	. 2 |- ( { x | x e. A } ~~ 1o <-> A ~~ 1o )
4	1, 3	bitr2i 184	1 |- ( A ~~ 1o <-> E! x x e. A )

Syntax hints:   <-> wb 104   e. wcel 1480   E!weu 1999   {cab 2125   class class class wbr 3929   1oc1o 6306   ~~ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-en 6635

This theorem is referenced by: (None)