Theorem eusv2nf 4377

Description: Two ways to express single-valuedness of a class expression A ( x ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
eusv2.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
eusv2nf	|- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem eusv2nf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfeu1 2010	. . . 4 |- F/ y E! y E. x y = A
2		nfe1 1472	. . . . . . 7 |- F/ x E. x y = A
3	2	nfeu 2018	. . . . . 6 |- F/ x E! y E. x y = A
4		eusv2.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
5	4	isseti 2694	. . . . . . . 8 |- E. y y = A
6		19.8a 1569	. . . . . . . . 9 |- ( y = A -> E. x y = A )
7	6	ancri 322	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( E. x y = A /\ y = A ) )
8	5, 7	eximii 1581	. . . . . . 7 |- E. y ( E. x y = A /\ y = A )
9		eupick 2078	. . . . . . 7 |- ( ( E! y E. x y = A /\ E. y ( E. x y = A /\ y = A ) ) -> ( E. x y = A -> y = A ) )
10	8, 9	mpan2 421	. . . . . 6 |- ( E! y E. x y = A -> ( E. x y = A -> y = A ) )
11	3, 10	alrimi 1502	. . . . 5 |- ( E! y E. x y = A -> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
12		nf3 1647	. . . . 5 |- ( F/ x y = A <-> A. x ( E. x y = A -> y = A ) )
13	11, 12	sylibr 133	. . . 4 |- ( E! y E. x y = A -> F/ x y = A )
14	1, 13	alrimi 1502	. . 3 |- ( E! y E. x y = A -> A. y F/ x y = A )
15		dfnfc2 3754	. . . 4 |- ( A. x A e. _V -> ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A ) )
16	15, 4	mpg 1427	. . 3 |- ( F/_ x A <-> A. y F/ x y = A )
17	14, 16	sylibr 133	. 2 |- ( E! y E. x y = A -> F/_ x A )
18		eusvnfb 4375	. . . 4 |- ( E! y A. x y = A <-> ( F/_ x A /\ A e. _V ) )
19	4, 18	mpbiran2 925	. . 3 |- ( E! y A. x y = A <-> F/_ x A )
20		eusv2i 4376	. . 3 |- ( E! y A. x y = A -> E! y E. x y = A )
21	19, 20	sylbir 134	. 2 |- ( F/_ x A -> E! y E. x y = A )
22	17, 21	impbii 125	1 |- ( E! y E. x y = A <-> F/_ x A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1329   = wceq 1331   F/wnf 1436   E.wex 1468   e. wcel 1480   E!weu 1999   F/_wnfc 2268   _Vcvv 2686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737

This theorem is referenced by:  eusv2  4378