Theorem evennn2n 11580

Description: A positive integer is even iff it is twice another positive integer. (Contributed by AV, 12-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
evennn2n	|- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem evennn2n

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( ( 2 x. n ) e. NN <-> N e. NN ) )
2		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
3		2re 8790	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
4	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 2 e. RR )
5		zre 9058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> n e. RR )
6	5	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. RR )
7		0le2 8810	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 <_ 2 )
9		nngt0 8745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> 0 < ( 2 x. n ) )
10	9	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < ( 2 x. n ) )
11		prodgt0 8610	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 e. RR /\ n e. RR ) /\ ( 0 <_ 2 /\ 0 < ( 2 x. n ) ) ) -> 0 < n )
12	4, 6, 8, 10, 11	syl22anc 1217	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> 0 < n )
13		elnnz 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
14	2, 12, 13	sylanbrc 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) e. NN /\ n e. ZZ ) -> n e. NN )
15	14	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. n ) e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) )
16	1, 15	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. n ) = N -> ( N e. NN -> ( n e. ZZ -> n e. NN ) ) )
17	16	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) ) )
18	17	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N -> n e. NN ) )
19	18	pm4.71rd 391	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) = N <-> ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
20	19	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> ( 2 x. n ) = N ) )
21	20	rexbidva 2434	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
22		nnssz 9071	. . 3 |- NN C_ ZZ
23		rexss 3164	. . 3 |- ( NN C_ ZZ -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
24	22, 23	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN -> ( E. n e. NN ( 2 x. n ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN /\ ( 2 x. n ) = N ) ) )
25		even2n 11571	. . 3 |- ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N )
26	25	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. ZZ ( 2 x. n ) = N ) )
27	21, 24, 26	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. NN -> ( 2 || N <-> E. n e. NN ( 2 x. n ) = N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   C_ wss 3071   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   NNcn 8720   2c2 8771   ZZcz 9054   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-dvds 11494

This theorem is referenced by: (None)