Theorem ex-bc 12930

Description: Example for df-bc 10487. (Contributed by AV, 4-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ex-bc	|- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Proof of Theorem ex-bc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-5 8775	. . 3 |- 5 = ( 4 + 1 )
2	1	oveq1i 5777	. 2 |- ( 5 _C 3 ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
3		4bc3eq4 10512	. . . 4 |- ( 4 _C 3 ) = 4
4		3m1e2 8833	. . . . . 6 |- ( 3 - 1 ) = 2
5	4	oveq2i 5778	. . . . 5 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = ( 4 _C 2 )
6		4bc2eq6 10513	. . . . 5 |- ( 4 _C 2 ) = 6
7	5, 6	eqtri 2158	. . . 4 |- ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) = 6
8	3, 7	oveq12i 5779	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( 4 + 6 )
9		4nn0 8989	. . . 4 |- 4 e. NN0
10		3z 9076	. . . 4 |- 3 e. ZZ
11		bcpasc 10505	. . . 4 |- ( ( 4 e. NN0 /\ 3 e. ZZ ) -> ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) )
12	9, 10, 11	mp2an 422	. . 3 |- ( ( 4 _C 3 ) + ( 4 _C ( 3 - 1 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) _C 3 )
13		6cn 8795	. . . 4 |- 6 e. CC
14		4cn 8791	. . . 4 |- 4 e. CC
15		6p4e10 9246	. . . 4 |- ( 6 + 4 ) = ; 1 0
16	13, 14, 15	addcomli 7900	. . 3 |- ( 4 + 6 ) = ; 1 0
17	8, 12, 16	3eqtr3i 2166	. 2 |- ( ( 4 + 1 ) _C 3 ) = ; 1 0
18	2, 17	eqtri 2158	1 |- ( 5 _C 3 ) = ; 1 0

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480  (class class class)co 5767   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   - cmin 7926   2c2 8764   3c3 8765   4c4 8766   5c5 8767   6c6 8768   NN0cn0 8970   ZZcz 9047  ;cdc 9175   _C cbc 10486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-5 8775  df-6 8776  df-7 8777  df-8 8778  df-9 8779  df-n0 8971  df-z 9048  df-dec 9176  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-seqfrec 10212  df-fac 10465  df-bc 10487

This theorem is referenced by: (None)