Theorem ex-fl 12937

Description: Example for df-fl 10043. Example by David A. Wheeler. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ex-fl	|- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Proof of Theorem ex-fl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 7765	. . . 4 |- 1 e. RR
2		3re 8794	. . . . 5 |- 3 e. RR
3	2	rehalfcli 8968	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. RR
4		2cn 8791	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
5	4	mulid2i 7769	. . . . . 6 |- ( 1 x. 2 ) = 2
6		2lt3 8890	. . . . . 6 |- 2 < 3
7	5, 6	eqbrtri 3949	. . . . 5 |- ( 1 x. 2 ) < 3
8		2pos 8811	. . . . . 6 |- 0 < 2
9		2re 8790	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
10	1, 2, 9	ltmuldivi 8680	. . . . . 6 |- ( 0 < 2 -> ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) ) )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ( 1 x. 2 ) < 3 <-> 1 < ( 3 / 2 ) )
12	7, 11	mpbi 144	. . . 4 |- 1 < ( 3 / 2 )
13	1, 3, 12	ltleii 7866	. . 3 |- 1 <_ ( 3 / 2 )
14		3lt4 8892	. . . . . 6 |- 3 < 4
15		2t2e4 8874	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = 4
16	14, 15	breqtrri 3955	. . . . 5 |- 3 < ( 2 x. 2 )
17	9, 8	pm3.2i 270	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
18		ltdivmul 8634	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. RR /\ 2 e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) ) )
19	2, 9, 17, 18	mp3an 1315	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> 3 < ( 2 x. 2 ) )
20	16, 19	mpbir 145	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) < 2
21		df-2 8779	. . . 4 |- 2 = ( 1 + 1 )
22	20, 21	breqtri 3953	. . 3 |- ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 )
23		3z 9083	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
24		2nn 8881	. . . . 5 |- 2 e. NN
25		znq 9416	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. NN ) -> ( 3 / 2 ) e. QQ )
26	23, 24, 25	mp2an 422	. . . 4 |- ( 3 / 2 ) e. QQ
27		1z 9080	. . . 4 |- 1 e. ZZ
28		flqbi 10063	. . . 4 |- ( ( ( 3 / 2 ) e. QQ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
29	26, 27, 28	mp2an 422	. . 3 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( 3 / 2 ) /\ ( 3 / 2 ) < ( 1 + 1 ) ) )
30	13, 22, 29	mpbir2an 926	. 2 |- ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1
31	9	renegcli 8024	. . . 4 |- -u 2 e. RR
32	3	renegcli 8024	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. RR
33	3, 9	ltnegi 8255	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) < 2 <-> -u 2 < -u ( 3 / 2 ) )
34	20, 33	mpbi 144	. . . 4 |- -u 2 < -u ( 3 / 2 )
35	31, 32, 34	ltleii 7866	. . 3 |- -u 2 <_ -u ( 3 / 2 )
36	4	negcli 8030	. . . . . . 7 |- -u 2 e. CC
37		ax-1cn 7713	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
38		negdi2 8020	. . . . . . 7 |- ( ( -u 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 ) )
39	36, 37, 38	mp2an 422	. . . . . 6 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( -u -u 2 - 1 )
40	4	negnegi 8032	. . . . . . 7 |- -u -u 2 = 2
41	40	oveq1i 5784	. . . . . 6 |- ( -u -u 2 - 1 ) = ( 2 - 1 )
42	39, 41	eqtri 2160	. . . . 5 |- -u ( -u 2 + 1 ) = ( 2 - 1 )
43		2m1e1 8838	. . . . . 6 |- ( 2 - 1 ) = 1
44	43, 12	eqbrtri 3949	. . . . 5 |- ( 2 - 1 ) < ( 3 / 2 )
45	42, 44	eqbrtri 3949	. . . 4 |- -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 )
46	31, 1	readdcli 7779	. . . . 5 |- ( -u 2 + 1 ) e. RR
47	46, 3	ltnegcon1i 8261	. . . 4 |- ( -u ( -u 2 + 1 ) < ( 3 / 2 ) <-> -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) )
48	45, 47	mpbi 144	. . 3 |- -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 )
49		qnegcl 9428	. . . . 5 |- ( ( 3 / 2 ) e. QQ -> -u ( 3 / 2 ) e. QQ )
50	26, 49	ax-mp 5	. . . 4 |- -u ( 3 / 2 ) e. QQ
51		2z 9082	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
52		znegcl 9085	. . . . 5 |- ( 2 e. ZZ -> -u 2 e. ZZ )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . 4 |- -u 2 e. ZZ
54		flqbi 10063	. . . 4 |- ( ( -u ( 3 / 2 ) e. QQ /\ -u 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) ) )
55	50, 53, 54	mp2an 422	. . 3 |- ( ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 <-> ( -u 2 <_ -u ( 3 / 2 ) /\ -u ( 3 / 2 ) < ( -u 2 + 1 ) ) )
56	35, 48, 55	mpbir2an 926	. 2 |- ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2
57	30, 56	pm3.2i 270	1 |- ( ( |_ ` ( 3 / 2 ) ) = 1 /\ ( |_ ` -u ( 3 / 2 ) ) = -u 2 )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7618   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   -ucneg 7934   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   3c3 8772   4c4 8773   ZZcz 9054   QQcq 9411   |_cfl 10041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-q 9412  df-rp 9442  df-fl 10043

This theorem is referenced by:  ex-ceil  12938