ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expclzaplem Unicode version

Theorem expclzaplem 9597
Description: Closure law for integer exponentiation. Lemma for expclzap 9598 and expap0i 9605. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
expclzaplem  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  CC  |  z #  0 }
)
Distinct variable groups:    z, A    z, N

Proof of Theorem expclzaplem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 3796 . . . . 5  |-  ( z  =  A  ->  (
z #  0  <->  A #  0
) )
21elrab 2750 . . . 4  |-  ( A  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( A  e.  CC  /\  A #  0 ) )
3 ssrab2 3080 . . . . . 6  |-  { z  e.  CC  |  z #  0 }  C_  CC
4 breq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z #  0  <->  x #  0
) )
54elrab 2750 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( x  e.  CC  /\  x #  0 ) )
6 breq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z #  0  <->  y #  0
) )
76elrab 2750 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
8 mulcl 7162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98ad2ant2r 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  CC )
10 mulap0 7811 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  x.  y ) #  0 )
11 breq1 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  x.  y )  ->  (
z #  0  <->  ( x  x.  y ) #  0 ) )
1211elrab 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  x.  y )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( ( x  x.  y )  e.  CC  /\  ( x  x.  y ) #  0 ) )
139, 10, 12sylanbrc 408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  CC  | 
z #  0 } )
145, 7, 13syl2anb 285 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  y  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }
)  ->  ( x  x.  y )  e.  {
z  e.  CC  | 
z #  0 } )
15 ax-1cn 7131 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
16 1ap0 7757 . . . . . . 7  |-  1 #  0
17 breq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z #  0  <->  1 #  0
) )
1817elrab 2750 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( 1  e.  CC  /\  1 #  0 ) )
1915, 16, 18mpbir2an 884 . . . . . 6  |-  1  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }
20 recclap 7834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  CC )
21 recap0 7840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x ) #  0 )
2220, 21jca 300 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  x #  0 )  ->  (
( 1  /  x
)  e.  CC  /\  ( 1  /  x
) #  0 ) )
23 breq1 3796 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( 1  /  x )  ->  (
z #  0  <->  ( 1  /  x ) #  0 ) )
2423elrab 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  x )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  <->  ( ( 1  /  x )  e.  CC  /\  ( 1  /  x ) #  0 ) )
2522, 5, 243imtr4i 199 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  ->  ( 1  /  x )  e. 
{ z  e.  CC  |  z #  0 }
)
2625adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  x #  0 )  ->  (
1  /  x )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } )
273, 14, 19, 26expcl2lemap 9585 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  {
z  e.  CC  | 
z #  0 } )
28273expia 1141 . . . 4  |-  ( ( A  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 }  /\  A #  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } ) )
292, 28sylanbr 279 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  /\  A #  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } ) )
3029anabss3 550 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0 )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( A ^ N )  e.  { z  e.  CC  |  z #  0 } ) )
31303impia 1136 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A #  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e. 
{ z  e.  CC  |  z #  0 }
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    e. wcel 1434   {crab 2353   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   CCcc 7041   0cc0 7043   1c1 7044    x. cmul 7048   # cap 7748    / cdiv 7827   ZZcz 8432   ^cexp 9572
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522  df-iexp 9573
This theorem is referenced by:  expclzap  9598  expap0i  9605
  Copyright terms: Public domain W3C validator