Theorem expge0 9609

Description: Nonnegative integer exponentiation with a nonnegative mantissa is nonnegative. (Contributed by NM, 16-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expge0	|- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Proof of Theorem expge0

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3797	. . . . 5 |- ( z = A -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ A ) )
2	1	elrab 2750	. . . 4 |- ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
3		ssrab2 3080	. . . . . . 7 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ RR
4		ax-resscn 7130	. . . . . . 7 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3009	. . . . . 6 |- { z e. RR | 0 <_ z } C_ CC
6		breq2 3797	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ x ) )
7	6	elrab 2750	. . . . . . 7 |- ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
8		breq2 3797	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ y ) )
9	8	elrab 2750	. . . . . . 7 |- ( y e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( y e. RR /\ 0 <_ y ) )
10		remulcl 7163	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x x. y ) e. RR )
11	10	ad2ant2r 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. RR )
12		mulge0 7786	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> 0 <_ ( x x. y ) )
13		breq2 3797	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x x. y ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( x x. y ) ) )
14	13	elrab 2750	. . . . . . . 8 |- ( ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( x x. y ) e. RR /\ 0 <_ ( x x. y ) ) )
15	11, 12, 14	sylanbrc 408	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) /\ ( y e. RR /\ 0 <_ y ) ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
16	7, 9, 15	syl2anb 285	. . . . . 6 |- ( ( x e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ y e. { z e. RR | 0 <_ z } ) -> ( x x. y ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
17		1re 7180	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
18		0le1 7652	. . . . . . 7 |- 0 <_ 1
19		breq2 3797	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ 1 ) )
20	19	elrab 2750	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) )
21	17, 18, 20	mpbir2an 884	. . . . . 6 |- 1 e. { z e. RR | 0 <_ z }
22	5, 16, 21	expcllem 9584	. . . . 5 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } )
23		breq2 3797	. . . . . . 7 |- ( z = ( A ^ N ) -> ( 0 <_ z <-> 0 <_ ( A ^ N ) ) )
24	23	elrab 2750	. . . . . 6 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } <-> ( ( A ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ N ) ) )
25	24	simprbi 269	. . . . 5 |- ( ( A ^ N ) e. { z e. RR | 0 <_ z } -> 0 <_ ( A ^ N ) )
26	22, 25	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. { z e. RR | 0 <_ z } /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
27	2, 26	sylanbr 279	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
28	27	3impa 1134	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )
29	28	3com23 1145	1 |- ( ( A e. RR /\ N e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 920   e. wcel 1434   {crab 2353   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   CCcc 7041   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044   x. cmul 7048   <_ cle 7216   NN0cn0 8355   ^cexp 9572

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522  df-iexp 9573

This theorem is referenced by:  leexp2r  9627  leexp1a  9628  expge0d  9720