Theorem f1eq1 5318

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1eq1	|- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 5250	. . 3 |- ( F = G -> ( F : A --> B <-> G : A --> B ) )
2		cnveq 4708	. . . 4 |- ( F = G -> `' F = `' G )
3	2	funeqd 5140	. . 3 |- ( F = G -> ( Fun `' F <-> Fun `' G ) )
4	1, 3	anbi12d 464	. 2 |- ( F = G -> ( ( F : A --> B /\ Fun `' F ) <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) )
5		df-f1 5123	. 2 |- ( F : A -1-1-> B <-> ( F : A --> B /\ Fun `' F ) )
6		df-f1 5123	. 2 |- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
7	4, 5, 6	3bitr4g 222	1 |- ( F = G -> ( F : A -1-1-> B <-> G : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   `'ccnv 4533   Fun wfun 5112   -->wf 5114   -1-1->wf1 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123

This theorem is referenced by:  f1oeq1  5351  f1eq123d  5355  fun11iun  5381  fo00  5396  tposf12  6159  f1dom2g  6643  f1domg  6645  dom3d  6661  domtr  6672  djudom  6971  difinfsn  6978  djudoml  7068  djudomr  7069