ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eq1 Unicode version

Theorem f1eq1 5115
Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)
Assertion
Ref Expression
f1eq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )

Proof of Theorem f1eq1
StepHypRef Expression
1 feq1 5058 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )
2 cnveq 4537 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  `' F  =  `' G
)
32funeqd 4951 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( Fun  `' F  <->  Fun  `' G ) )
41, 3anbi12d 450 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F : A --> B  /\  Fun  `' F
)  <->  ( G : A
--> B  /\  Fun  `' G ) ) )
5 df-f1 4935 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  <->  ( F : A --> B  /\  Fun  `' F ) )
6 df-f1 4935 . 2  |-  ( G : A -1-1-> B  <->  ( G : A --> B  /\  Fun  `' G ) )
74, 5, 63bitr4g 216 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A -1-1-> B  <->  G : A -1-1-> B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259   `'ccnv 4372   Fun wfun 4924   -->wf 4926   -1-1->wf1 4927
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935
This theorem is referenced by:  f1oeq1  5145  f1eq123d  5149  fun11iun  5175  fo00  5190  tposf12  5915  f1dom2g  6267  f1domg  6269  dom3d  6285  domtr  6296
  Copyright terms: Public domain W3C validator