ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eqcocnv Unicode version

Theorem f1eqcocnv 5482
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5207 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )
)
2 coeq2 4542 . . . . 5  |-  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  F
)  =  ( `' F  o.  G ) )
32eqeq1d 2091 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  (
( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) ) )
41, 3syl5ibcom 153 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
54adantr 270 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  ->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) ) )
6 f1fn 5144 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> B  ->  G  Fn  A )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  G  Fn  A )
87adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  Fn  A )
9 f1fn 5144 . . . . . . 7  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  Fn  A )
109adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  F  Fn  A )
1110adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  Fn  A )
12 equid 1630 . . . . . . . . . 10  |-  x  =  x
13 resieq 4670 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  ( x (  _I  |`  A ) x  <->  x  =  x ) )
1412, 13mpbiri 166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
1514anidms 389 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  x
(  _I  |`  A ) x )
1615adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x (  _I  |`  A ) x )
17 breq 3807 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1817ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  x (  _I  |`  A ) x ) )
1916, 18mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  x ( `' F  o.  G ) x )
20 vex 2613 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2120, 20brco 4554 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( `' F  o.  G ) x  <->  E. y
( x G y  /\  y `' F x ) )
22 fnfun 5047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G  Fn  A  ->  Fun  G )
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  G )
2423adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  G )
25 fndm 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  Fn  A  ->  dom  G  =  A )
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  G  =  A )
2726eleq2d 2152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  G  <->  x  e.  A ) )
2827biimpar 291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  G )
29 funopfvb 5269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( ( G `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G ) )
3024, 28, 29syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
) )
3130bicomd 139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. x ,  y >.  e.  G  <->  ( G `  x )  =  y ) )
32 df-br 3806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x G y  <->  <. x ,  y >.  e.  G
)
33 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  x )  <->  ( G `  x )  =  y )
3431, 32, 333bitr4g 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  <->  y  =  ( G `  x ) ) )
3534biimpd 142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x G y  -> 
y  =  ( G `
 x ) ) )
36 fnfun 5047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  Fun  F )
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  Fun  F )
3837adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  Fun  F )
39 fndm 5049 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  dom  F  =  A )
4140eleq2d 2152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( x  e.  dom  F  <->  x  e.  A ) )
4241biimpar 291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  F )
43 funopfvb 5269 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Fun  F  /\  x  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  x )  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F ) )
4438, 42, 43syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( F `  x
)  =  y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
) )
45 df-br 3806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x F y  <->  <. x ,  y >.  e.  F
)
4644, 45syl6rbbr 197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x F y  <->  ( F `  x )  =  y ) )
47 vex 2613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
4847, 20brcnv 4566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y `' F x  <->  x F
y )
49 eqcom 2085 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  x )  <->  ( F `  x )  =  y )
5046, 48, 493bitr4g 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  <-> 
y  =  ( F `
 x ) ) )
5150biimpd 142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
y `' F x  ->  y  =  ( F `  x ) ) )
5235, 51anim12d 328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( x G y  /\  y `' F x )  ->  (
y  =  ( G `
 x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5352eximdv 1803 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y ( x G y  /\  y `' F x )  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
5421, 53syl5bi 150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  ->  E. y ( y  =  ( G `  x
)  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
556anim1i 333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : A -1-1-> B  /\  x  e.  A
)  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A ) )
5655adantll 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )
)
57 funfvex 5243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  x  e.  dom  G )  -> 
( G `  x
)  e.  _V )
5857funfni 5050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  e.  _V )
59 eqvincg 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  x )  e.  _V  ->  (
( G `  x
)  =  ( F `
 x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
( G `  x
)  =  ( F `
 x )  <->  E. y
( y  =  ( G `  x )  /\  y  =  ( F `  x ) ) ) )
6154, 60sylibrd 167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  x  e.  A )  ->  (
x ( `' F  o.  G ) x  -> 
( G `  x
)  =  ( F `
 x ) ) )
6261adantlr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( x ( `' F  o.  G ) x  ->  ( G `  x )  =  ( F `  x ) ) )
6319, 62mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  =  ( F `
 x ) )
648, 11, 63eqfnfvd 5320 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  G  =  F )
6564eqcomd 2088 . . 3  |-  ( ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B )  /\  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A ) )  ->  F  =  G )
6665ex 113 . 2  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( ( `' F  o.  G
)  =  (  _I  |`  A )  ->  F  =  G ) )
675, 66impbid 127 1  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  G : A -1-1-> B
)  ->  ( F  =  G  <->  ( `' F  o.  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   _Vcvv 2610   <.cop 3419   class class class wbr 3805    _I cid 4071   `'ccnv 4390   dom cdm 4391    |` cres 4393    o. ccom 4395   Fun wfun 4946    Fn wfn 4947   -1-1->wf1 4949   ` cfv 4952
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator