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Theorem f1o2ndf1 5880
Description: The  2nd (second member of an ordered pair) function restricted to a one-to-one function  F is a one-to-one function of  F onto the range of  F. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
f1o2ndf1  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -1-1-onto-> ran  F )

Proof of Theorem f1o2ndf1
Dummy variables  a  b  v  w  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1f 5123 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F : A --> B )
2 fo2ndf 5879 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -onto-> ran  F
)
31, 2syl 14 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -onto-> ran  F
)
4 f2ndf 5878 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F --> B )
51, 4syl 14 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F --> B )
6 fssxp 5089 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
71, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
8 ssel2 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  x  e.  F )  ->  x  e.  ( A  X.  B
) )
9 elxp2 4389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( A  X.  B )  <->  E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v >.
)
108, 9sylib 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  x  e.  F )  ->  E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v >.
)
11 ssel2 2995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  y  e.  F )  ->  y  e.  ( A  X.  B
) )
12 elxp2 4389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( A  X.  B )  <->  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )
1311, 12sylib 120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  y  e.  F )  ->  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )
1410, 13anim12dan 565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v
>.  /\  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )
)
15 fvres 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( <.
a ,  v >.  e.  F  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  ( 2nd `  <. a ,  v
>. ) )
1615adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
<. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >.
)  =  ( 2nd `  <. a ,  v
>. ) )
1716adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  ( 2nd `  <. a ,  v
>. ) )
18 fvres 5230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( <.
b ,  w >.  e.  F  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )
)
1918ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. ) )
2017, 19eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  <->  ( 2nd `  <. a ,  v >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )
) )
21 vex 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  a  e. 
_V
22 vex 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  v  e. 
_V
2321, 22op2nd 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2nd `  <. a ,  v
>. )  =  v
24 vex 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  b  e. 
_V
25 vex 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  w  e. 
_V
2624, 25op2nd 5805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2nd `  <. b ,  w >. )  =  w
2723, 26eqeq12i 2095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2nd `  <. a ,  v >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )  <->  v  =  w )
28 f1fun 5125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  Fun  F )
29 funopfv 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. a ,  v >.  e.  F  ->  ( F `  a
)  =  v ) )
30 funopfv 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( <. b ,  w >.  e.  F  ->  ( F `  b
)  =  w ) )
3129, 30anim12d 328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  ->  ( ( F `  a )  =  v  /\  ( F `  b )  =  w ) ) )
3228, 31syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F )  -> 
( ( F `  a )  =  v  /\  ( F `  b )  =  w ) ) )
33 eqcom 2084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( F `  a )  =  v  <->  v  =  ( F `  a ) )
3433biimpi 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F `  a )  =  v  ->  v  =  ( F `  a ) )
35 eqcom 2084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( F `  b )  =  w  <->  w  =  ( F `  b ) )
3635biimpi 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( F `  b )  =  w  ->  w  =  ( F `  b ) )
3734, 36eqeqan12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( v  =  w  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
38 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  ->  a  e.  A )
39 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( b  e.  A  /\  w  e.  B )  ->  b  e.  A )
4038, 39anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )
41 f1veqaeq 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
4240, 41sylan2 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
43 opeq12 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( a  =  b  /\  v  =  w )  -> 
<. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
4443ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( a  =  b  ->  (
v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) )
4542, 44syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
( v  =  w  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
4645com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( F : A -1-1-> B  /\  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
) )  ->  (
v  =  w  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
4746ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
4847com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
4937, 48syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( v  =  w  ->  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) )  ->  (
v  =  w  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) ) )
5049com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  w  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) ) )
5150pm2.43i 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( v  =  w  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
5251com14 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  v  /\  ( F `  b )  =  w )  -> 
( v  =  w  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
5352com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( F `
 a )  =  v  /\  ( F `
 b )  =  w )  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
5432, 53syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F )  -> 
( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
5554com13 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
5655impcom 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( v  =  w  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
5756com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( v  =  w  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
5827, 57syl5bi 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( 2nd `  <. a ,  v >. )  =  ( 2nd `  <. b ,  w >. )  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
5920, 58sylbid 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) ) )
6059com23 77 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( <. a ,  v
>.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  /\  ( (
a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B
) ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
6160ex 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
)  ->  ( (
( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
6261adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
) )  ->  (
( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
6362com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  ( b  e.  A  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F ) )  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
6463adantlr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
) )  ->  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  -> 
<. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
6564adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F
) )  ->  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >. )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. )  -> 
<. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. ) ) ) )
66 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  <. a ,  v
>.  ->  ( x  e.  F  <->  <. a ,  v
>.  e.  F ) )
6766ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( x  e.  F  <->  <. a ,  v
>.  e.  F ) )
68 eleq1 2142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  <. b ,  w >.  ->  ( y  e.  F  <->  <. b ,  w >.  e.  F ) )
6967, 68bi2anan9 571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  <->  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F ) ) )
7069anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  <->  ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( <. a ,  v >.  e.  F  /\  <. b ,  w >.  e.  F ) ) ) )
71 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  <. a ,  v
>.  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  x
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. ) )
7271ad2antlr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. ) )
73 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( 2nd  |`  F ) `  y
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. ) )
7472, 73eqeqan12d 2097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  <->  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v >.
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  <. b ,  w >. ) ) )
75 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  x  =  <. a ,  v >. )
76 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  y  =  <. b ,  w >. )
7775, 76eqeq12d 2096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( x  =  y  <->  <. a ,  v
>.  =  <. b ,  w >. ) )
7874, 77imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) )
7978imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( ( 2nd  |`  F ) `  x
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  y )  ->  x  =  y ) )  <-> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  <. a ,  v
>. )  =  (
( 2nd  |`  F ) `
 <. b ,  w >. )  ->  <. a ,  v >.  =  <. b ,  w >. )
) ) )
8065, 70, 793imtr4d 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  /\  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
8180ex 113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  /\  x  =  <. a ,  v
>. )  /\  (
b  e.  A  /\  w  e.  B )
)  ->  ( y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
8281rexlimdvva 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B
)  /\  x  =  <. a ,  v >.
)  ->  ( E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
8382ex 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  A  /\  v  e.  B )  ->  ( x  =  <. a ,  v >.  ->  ( E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >.  ->  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) ) )
8483rexlimivv 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v
>.  ->  ( E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >.  -> 
( ( F  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) )  -> 
( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) ) )
8584imp 122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. a  e.  A  E. v  e.  B  x  =  <. a ,  v >.  /\  E. b  e.  A  E. w  e.  B  y  =  <. b ,  w >. )  ->  ( ( F 
C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
8614, 85mpcom 36 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  (
x  e.  F  /\  y  e.  F )
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
8786ex 113 . . . . . . 7  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  (
( x  e.  F  /\  y  e.  F
)  ->  ( F : A -1-1-> B  ->  ( ( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
8887com23 77 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( A  X.  B )  ->  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) ) )
897, 88mpcom 36 . . . . 5  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  (
( ( 2nd  |`  F ) `
 x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
9089ralrimivv 2443 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x
)  =  ( ( 2nd  |`  F ) `  y )  ->  x  =  y ) )
91 dff13 5439 . . . 4  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B  <->  ( ( 2nd  |`  F ) : F --> B  /\  A. x  e.  F  A. y  e.  F  ( ( ( 2nd  |`  F ) `  x )  =  ( ( 2nd  |`  F ) `
 y )  ->  x  =  y )
) )
925, 90, 91sylanbrc 408 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B )
93 df-f1 4937 . . . 4  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B  <->  ( ( 2nd  |`  F ) : F --> B  /\  Fun  `' ( 2nd  |`  F )
) )
9493simprbi 269 . . 3  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-> B  ->  Fun  `' ( 2nd  |`  F )
)
9592, 94syl 14 . 2  |-  ( F : A -1-1-> B  ->  Fun  `' ( 2nd  |`  F ) )
96 dff1o3 5163 . 2  |-  ( ( 2nd  |`  F ) : F -1-1-onto-> ran  F  <->  ( ( 2nd  |`  F ) : F -onto-> ran  F  /\  Fun  `' ( 2nd  |`  F ) ) )
973, 95, 96sylanbrc 408 1  |-  ( F : A -1-1-> B  -> 
( 2nd  |`  F ) : F -1-1-onto-> ran  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350    C_ wss 2974   <.cop 3409    X. cxp 4369   `'ccnv 4370   ran crn 4372    |` cres 4373   Fun wfun 4926   -->wf 4928   -1-1->wf1 4929   -onto->wfo 4930   -1-1-onto->wf1o 4931   ` cfv 4932   2ndc2nd 5797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-2nd 5799
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