Theorem f1ocnvfv2 5679

Description: The value of the converse value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
f1ocnvfv2	|- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Proof of Theorem f1ocnvfv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ococnv2 5394	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F o. `' F ) = ( _I |` B ) )
2	1	fveq1d 5423	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
3	2	adantr 274	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( ( _I |` B ) ` C ) )
4		f1ocnv 5380	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> A )
5		f1of 5367	. . . 4 |- ( `' F : B -1-1-onto-> A -> `' F : B --> A )
6	4, 5	syl 14	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> `' F : B --> A )
7		fvco3 5492	. . 3 |- ( ( `' F : B --> A /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
8	6, 7	sylan 281	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( F o. `' F ) ` C ) = ( F ` ( `' F ` C ) ) )
9		fvresi 5613	. . 3 |- ( C e. B -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
10	9	adantl 275	. 2 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` C ) = C )
11	3, 8, 10	3eqtr3d 2180	1 |- ( ( F : A -1-1-onto-> B /\ C e. B ) -> ( F ` ( `' F ` C ) ) = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   _I cid 4210   `'ccnv 4538   |` cres 4541   o. ccom 4543   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  f1ocnvfvb  5681  isocnv  5712  f1oiso2  5728  ordiso2  6920  enomnilem  7010  frecuzrdglem  10184  frecuzrdgsuc  10187  frecuzrdgdomlem  10190  frecuzrdgsuctlem  10196  frecfzennn  10199  iseqf1olemkle  10257  iseqf1olemklt  10258  iseqf1olemnab  10261  seq3f1olemqsumkj  10271  hashfz1  10529  seq3coll  10585  summodclem3  11149  summodclem2a  11150  prodmodclem3  11344  prodmodclem2a  11345  sqpweven  11853  2sqpwodd  11854  phimullem  11901  ennnfonelemkh  11925  ennnfonelemhf1o  11926  ennnfonelemex  11927  ennnfonelemnn0  11935  ctinfomlemom  11940  ctiunctlemfo  11952  isomninnlem  13225