Theorem f1oprg 5411

Description: An unordered pair of ordered pairs with different elements is a one-to-one onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
f1oprg	|- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Proof of Theorem f1oprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1osng 5408	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
2	1	ad2antrr 479	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } )
3		f1osng 5408	. . . . 5 |- ( ( C e. X /\ D e. Y ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
4	3	ad2antlr 480	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } )
5		disjsn2 3586	. . . . 5 |- ( A =/= C -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
6	5	ad2antrl 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } i^i { C } ) = (/) )
7		disjsn2 3586	. . . . 5 |- ( B =/= D -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
8	7	ad2antll 482	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } i^i { D } ) = (/) )
9		f1oun 5387	. . . 4 |- ( ( ( { <. A , B >. } : { A } -1-1-onto-> { B } /\ { <. C , D >. } : { C } -1-1-onto-> { D } ) /\ ( ( { A } i^i { C } ) = (/) /\ ( { B } i^i { D } ) = (/) ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
10	2, 4, 6, 8, 9	syl22anc 1217	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) )
11		df-pr 3534	. . . . . 6 |- { <. A , B >. , <. C , D >. } = ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } )
12	11	eqcomi 2143	. . . . 5 |- ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. }
13	12	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) = { <. A , B >. , <. C , D >. } )
14		df-pr 3534	. . . . . 6 |- { A , C } = ( { A } u. { C } )
15	14	eqcomi 2143	. . . . 5 |- ( { A } u. { C } ) = { A , C }
16	15	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { A } u. { C } ) = { A , C } )
17		df-pr 3534	. . . . . 6 |- { B , D } = ( { B } u. { D } )
18	17	eqcomi 2143	. . . . 5 |- ( { B } u. { D } ) = { B , D }
19	18	a1i 9	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( { B } u. { D } ) = { B , D } )
20	13, 16, 19	f1oeq123d 5362	. . 3 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> ( ( { <. A , B >. } u. { <. C , D >. } ) : ( { A } u. { C } ) -1-1-onto-> ( { B } u. { D } ) <-> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )
21	10, 20	mpbid 146	. 2 |- ( ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) /\ ( A =/= C /\ B =/= D ) ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } )
22	21	ex 114	1 |- ( ( ( A e. V /\ B e. W ) /\ ( C e. X /\ D e. Y ) ) -> ( ( A =/= C /\ B =/= D ) -> { <. A , B >. , <. C , D >. } : { A , C } -1-1-onto-> { B , D } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   u. cun 3069   i^i cin 3070   (/)c0 3363   {csn 3527   {cpr 3528   <.cop 3530   -1-1-onto->wf1o 5122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by: (None)