Theorem f1opw 5977

Description: A one-to-one mapping induces a one-to-one mapping on power sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
f1opw	|- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Distinct variable groups:   A, b   B, b   F, b

Proof of Theorem f1opw

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A -1-1-onto-> B )
2		dff1o3 5373	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B <-> ( F : A -onto-> B /\ Fun `' F ) )
3	2	simprbi 273	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun `' F )
4		vex 2689	. . . 4 |- a e. _V
5	4	funimaex 5208	. . 3 |- ( Fun `' F -> ( `' F " a ) e. _V )
6	3, 5	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( `' F " a ) e. _V )
7		f1ofun 5369	. . 3 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> Fun F )
8		vex 2689	. . . 4 |- b e. _V
9	8	funimaex 5208	. . 3 |- ( Fun F -> ( F " b ) e. _V )
10	7, 9	syl 14	. 2 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( F " b ) e. _V )
11	1, 6, 10	f1opw2 5976	1 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> ( b e. ~P A |-> ( F " b ) ) : ~P A -1-1-onto-> ~P B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   ~Pcpw 3510   |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   "cima 4542   Fun wfun 5117   -onto->wfo 5121   -1-1-onto->wf1o 5122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130

This theorem is referenced by: (None)