ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1osn Unicode version

Theorem f1osn 5194
Description: A singleton of an ordered pair is one-to-one onto function. (Contributed by NM, 18-May-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
f1osn.1  |-  A  e. 
_V
f1osn.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
f1osn  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }

Proof of Theorem f1osn
StepHypRef Expression
1 f1osn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 f1osn.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
31, 2fnsn 4981 . 2  |-  { <. A ,  B >. }  Fn  { A }
42, 1fnsn 4981 . . 3  |-  { <. B ,  A >. }  Fn  { B }
51, 2cnvsn 4831 . . . 4  |-  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. }
65fneq1i 5021 . . 3  |-  ( `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } 
<->  { <. B ,  A >. }  Fn  { B } )
74, 6mpbir 138 . 2  |-  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B }
8 dff1o4 5162 . 2  |-  ( {
<. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }  <->  ( { <. A ,  B >. }  Fn  { A }  /\  `' { <. A ,  B >. }  Fn  { B } ) )
93, 7, 8mpbir2an 860 1  |-  { <. A ,  B >. } : { A } -1-1-onto-> { B }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1409   _Vcvv 2574   {csn 3403   <.cop 3406   `'ccnv 4372    Fn wfn 4925   -1-1-onto->wf1o 4929
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937
This theorem is referenced by:  f1osng  5195  fsn  5363  ensn1  6307  phplem2  6347  ac6sfi  6383
  Copyright terms: Public domain W3C validator