ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fac1 Unicode version

Theorem fac1 9742
Description: The factorial of 1. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fac1  |-  ( ! `
 1 )  =  1

Proof of Theorem fac1
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 8106 . . 3  |-  1  e.  NN
2 facnn 9740 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( ! `  1 )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  1
) )
31, 2ax-mp 7 . 2  |-  ( ! `
 1 )  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  1 )
4 1zzd 8448 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
5 fvi 5256 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  =  f )
65eleq1d 2148 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  f  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
76ibir 175 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
8 eluzelcn 8700 . . . . . 6  |-  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
97, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
109adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
11 mulcl 7151 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
1211adantl 271 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC ) )  -> 
( f  x.  g
)  e.  CC )
134, 10, 12iseq1 9522 . . 3  |-  ( T. 
->  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  1
)  =  (  _I 
`  1 ) )
1413trud 1294 . 2  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) ` 
1 )  =  (  _I  `  1 )
15 fvi 5256 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (  _I  `  1 )  =  1 )
161, 15ax-mp 7 . 2  |-  (  _I 
`  1 )  =  1
173, 14, 163eqtri 2106 1  |-  ( ! `
 1 )  =  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    = wceq 1285   T. wtru 1286    e. wcel 1434    _I cid 4045   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   CCcc 7030   1c1 7033    x. cmul 7037   NNcn 8095   ZZ>=cuz 8689    seqcseq 9510   !cfa 9738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3895  ax-sep 3898  ax-nul 3906  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-iinf 4331  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-addcom 7127  ax-addass 7129  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-ltadd 7143
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3253  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-tr 3878  df-id 4050  df-iord 4123  df-on 4125  df-ilim 4126  df-suc 4128  df-iom 4334  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-f1 4931  df-fo 4932  df-f1o 4933  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-frec 6034  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-uz 8690  df-iseq 9511  df-fac 9739
This theorem is referenced by:  facp1  9743  fac2  9744  bcn1  9771
  Copyright terms: Public domain W3C validator