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Theorem faclbnd3 9767
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 8357 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 nnre 8113 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
32adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
4 nnge1 8129 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
54adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  M )
6 nn0z 8452 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
8 uzid 8714 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
9 peano2uz 8752 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
107, 8, 93syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
113, 5, 10leexp2ad 9731 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( M ^ ( N  + 
1 ) ) )
12 nnnn0 8362 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
13 faclbnd 9765 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
1412, 13sylan 277 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
15 nn0re 8364 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
16 reexpcl 9590 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
1715, 16sylan 277 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
18 peano2nn0 8395 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
19 reexpcl 9590 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2015, 18, 19syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
21 reexpcl 9590 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  RR )
2215, 21mpancom 413 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
23 faccl 9759 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2423nnred 8119 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
25 remulcl 7163 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
2622, 24, 25syl2an 283 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
27 letr 7261 . . . . . 6  |-  ( ( ( M ^ N
)  e.  RR  /\  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1170 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2912, 28sylan 277 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3011, 14, 29mp2and 424 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
31 elnn0 8357 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32 0exp 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
33 0le1 7652 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
3432, 33syl6eqbr 3830 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
35 oveq2 5551 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  =  ( 0 ^ 0 ) )
36 0exp0e1 9578 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
37 1le1 7739 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
3836, 37eqbrtri 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 0 )  <_ 
1
3935, 38syl6eqbr 3830 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
4034, 39jaoi 669 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0 ^ N )  <_  1
)
4131, 40sylbi 119 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
1 )
42 1nn 8117 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
43 nnmulcl 8127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
4442, 23, 43sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4544nnge1d 8148 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
46 0re 7181 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
47 reexpcl 9590 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ N
)  e.  RR )
4846, 47mpan 415 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  e.  RR )
49 1re 7180 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
50 remulcl 7163 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5149, 24, 50sylancr 405 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
52 letr 7261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
1  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 0 ^ N )  <_ 
1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
5349, 52mp3an2 1257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 0 ^ N )  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
0 ^ N )  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5448, 51, 53syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 0 ^ N
)  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5541, 45, 54mp2and 424 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
5655adantl 271 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) )
57 oveq1 5550 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
58 oveq12 5552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
5958anidms 389 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6059, 36syl6eq 2130 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  1 )
6160oveq1d 5558 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )
6257, 61breq12d 3806 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
6362adantr 270 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  <-> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
6456, 63mpbird 165 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
6530, 64jaoian 742 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
661, 65sylanb 278 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    <_ cle 7216   NNcn 8106   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   ZZ>=cuz 8700   ^cexp 9572   !cfa 9749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-div 7828  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-rp 8816  df-iseq 9522  df-iexp 9573  df-fac 9750
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