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Theorem faclbnd3 10457
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )

Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 8947 . 2  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
2 nnre 8695 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
32adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  M  e.  RR )
4 nnge1 8711 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
54adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
1  <_  M )
6 nn0z 9042 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
8 uzid 9308 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
9 peano2uz 9346 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
107, 8, 93syl 17 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N ) )
113, 5, 10leexp2ad 10421 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( M ^ ( N  + 
1 ) ) )
12 nnnn0 8952 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
13 faclbnd 10455 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
1412, 13sylan 281 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
15 nn0re 8954 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
16 reexpcl 10278 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
1715, 16sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  e.  RR )
18 peano2nn0 8985 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
19 reexpcl 10278 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
2015, 18, 19syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR )
21 reexpcl 10278 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M ^ M
)  e.  RR )
2215, 21mpancom 418 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M ^ M )  e.  RR )
23 faccl 10449 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2423nnred 8701 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  RR )
25 remulcl 7716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M ^ M
)  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
2622, 24, 25syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
27 letr 7815 . . . . . 6  |-  ( ( ( M ^ N
)  e.  RR  /\  ( M ^ ( N  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1201 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
2912, 28sylan 281 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( ( M ^ N )  <_ 
( M ^ ( N  +  1 ) )  /\  ( M ^ ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) )  ->  ( M ^ N )  <_ 
( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N )
) ) )
3011, 14, 29mp2and 429 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
31 elnn0 8947 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
32 0exp 10296 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
33 0le1 8211 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
3432, 33eqbrtrdi 3937 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
35 oveq2 5750 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  =  ( 0 ^ 0 ) )
36 0exp0e1 10266 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ^ 0 )  =  1
37 1le1 8302 . . . . . . . . . 10  |-  1  <_  1
3836, 37eqbrtri 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 0 )  <_ 
1
3935, 38eqbrtrdi 3937 . . . . . . . 8  |-  ( N  =  0  ->  (
0 ^ N )  <_  1 )
4034, 39jaoi 690 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( 0 ^ N )  <_  1
)
4131, 40sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
1 )
42 1nn 8699 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
43 nnmulcl 8709 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ! `  N )  e.  NN )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  NN )
4442, 23, 43sylancr 410 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  NN )
4544nnge1d 8731 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
46 0re 7734 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
47 reexpcl 10278 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0 ^ N
)  e.  RR )
4846, 47mpan 420 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  e.  RR )
49 1re 7733 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
50 remulcl 7716 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ! `  N )  e.  RR )  -> 
( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )
5149, 24, 50sylancr 410 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1  x.  ( ! `  N ) )  e.  RR )
52 letr 7815 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
1  x.  ( ! `
 N ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( 0 ^ N )  <_ 
1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `
 N ) ) )  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
5349, 52mp3an2 1288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0 ^ N
)  e.  RR  /\  ( 1  x.  ( ! `  N )
)  e.  RR )  ->  ( ( ( 0 ^ N )  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N )
) )  ->  (
0 ^ N )  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) ) )
5448, 51, 53syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( 0 ^ N
)  <_  1  /\  1  <_  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )  -> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
5541, 45, 54mp2and 429 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) )
5655adantl 275 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) )
57 oveq1 5749 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
58 oveq12 5751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  M  =  0 )  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
5958anidms 394 . . . . . . . 8  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  ( 0 ^ 0 ) )
6059, 36syl6eq 2166 . . . . . . 7  |-  ( M  =  0  ->  ( M ^ M )  =  1 )
6160oveq1d 5757 . . . . . 6  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  =  ( 1  x.  ( ! `  N
) ) )
6257, 61breq12d 3912 . . . . 5  |-  ( M  =  0  ->  (
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) )  <->  ( 0 ^ N )  <_ 
( 1  x.  ( ! `  N )
) ) )
6362adantr 274 . . . 4  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) )  <-> 
( 0 ^ N
)  <_  ( 1  x.  ( ! `  N ) ) ) )
6456, 63mpbird 166 . . 3  |-  ( ( M  =  0  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
6530, 64jaoian 769 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN  \/  M  =  0
)  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( M ^ N )  <_  (
( M ^ M
)  x.  ( ! `
 N ) ) )
661, 65sylanb 282 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M ^ N
)  <_  ( ( M ^ M )  x.  ( ! `  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   RRcr 7587   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593    <_ cle 7769   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294   ^cexp 10260   !cfa 10439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-fac 10440
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