ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facnn Unicode version

Theorem facnn 9751
Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facnn  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
) )

Proof of Theorem facnn
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 7175 . . 3  |-  0  e.  _V
2 1ex 7176 . . 3  |-  1  e.  _V
3 df-fac 9750 . . . 4  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) )
4 nnuz 8735 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 dfn2 8368 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( NN0  \  { 0 } )
64, 5eqtr3i 2104 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  ( NN0  \  { 0 } )
76reseq2i 4637 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )
8 eqid 2082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  =  (
ZZ>= `  1 )
9 1zzd 8459 . . . . . . . . . 10  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
10 fvi 5262 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  =  f )
1110eleq1d 2148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  f  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
1211ibir 175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
13 eluzelcn 8711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  _I  `  f )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
1514adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  f  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
16 mulcl 7162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
1716adantl 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC ) )  -> 
( f  x.  g
)  e.  CC )
188, 9, 15, 17iseqfcl 9535 . . . . . . . . 9  |-  ( T. 
->  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) : ( ZZ>= `  1
) --> CC )
19 ffn 5077 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) : ( ZZ>= `  1 ) --> CC  ->  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2018, 19syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2120trud 1294 . . . . . . 7  |-  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC )  Fn  ( ZZ>=
`  1 )
22 fnresdm 5039 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  Fn  ( ZZ>= `  1 )  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( ZZ>= ` 
1 ) )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) )
2321, 22ax-mp 7 . . . . . 6  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( ZZ>= `  1 )
)  =  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC )
247, 23eqtr3i 2104 . . . . 5  |-  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) )  =  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )
2524uneq2i 3124 . . . 4  |-  ( {
<. 0 ,  1
>. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( NN0  \  { 0 } ) ) )  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) )
263, 25eqtr4i 2105 . . 3  |-  !  =  ( { <. 0 ,  1 >. }  u.  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC )  |`  ( NN0  \  {
0 } ) ) )
271, 2, 26fvsnun2 5393 . 2  |-  ( N  e.  ( NN0  \  {
0 } )  -> 
( ! `  N
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N ) )
2827, 5eleq2s 2174 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ,  CC ) `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1285   T. wtru 1286    e. wcel 1434    \ cdif 2971    u. cun 2972   {csn 3406   <.cop 3409    _I cid 4051    |` cres 4373    Fn wfn 4927   -->wf 4928   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   CCcc 7041   0cc0 7043   1c1 7044    x. cmul 7048   NNcn 8106   NN0cn0 8355   ZZ>=cuz 8700    seqcseq 9521   !cfa 9749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522  df-fac 9750
This theorem is referenced by:  fac1  9753  facp1  9754  ibcval5  9787
  Copyright terms: Public domain W3C validator