ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facp1 Unicode version

Theorem facp1 10444
Description: The factorial of a successor. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
facp1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem facp1
Dummy variables  f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 8947 . 2  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
2 elnnuz 9330 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  <->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
32biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4 fvi 5446 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  =  f )
5 eluzelcn 9305 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  f  e.  CC )
64, 5eqeltrd 2194 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  _I  `  f )  e.  CC )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  f  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
(  _I  `  f
)  e.  CC )
8 mulcl 7715 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC )  ->  ( f  x.  g
)  e.  CC )
98adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( f  e.  CC  /\  g  e.  CC ) )  ->  ( f  x.  g )  e.  CC )
103, 7, 9seq3p1 10203 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  +  1
) ) ) )
11 peano2nn 8700 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12 fvi 5446 . . . . . . 7  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
1311, 12syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  (  _I  `  ( N  + 
1 ) )  =  ( N  +  1 ) )
1413oveq2d 5758 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  (  _I  `  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
1510, 14eqtrd 2150 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
16 facnn 10441 . . . . 5  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
1711, 16syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  ( N  +  1 ) ) )
18 facnn 10441 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  N )  =  (  seq 1
(  x.  ,  _I  ) `  N )
)
1918oveq1d 5757 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  _I  ) `  N )  x.  ( N  + 
1 ) ) )
2015, 17, 193eqtr4d 2160 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
21 0p1e1 8802 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
2221fveq2i 5392 . . . . 5  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  ( ! `  1
)
23 fac1 10443 . . . . 5  |-  ( ! `
 1 )  =  1
2422, 23eqtri 2138 . . . 4  |-  ( ! `
 ( 0  +  1 ) )  =  1
25 fvoveq1 5765 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ! `  ( 0  +  1 ) ) )
26 fveq2 5389 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  N )  =  ( ! ` 
0 ) )
27 oveq1 5749 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  ( N  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
2826, 27oveq12d 5760 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 0 )  x.  ( 0  +  1 ) ) )
29 fac0 10442 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
3029, 21oveq12i 5754 . . . . . 6  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  x.  1 )
31 1t1e1 8840 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3230, 31eqtri 2138 . . . . 5  |-  ( ( ! `  0 )  x.  ( 0  +  1 ) )  =  1
3328, 32syl6eq 2166 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  (
( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) )  =  1 )
3424, 25, 333eqtr4a 2176 . . 3  |-  ( N  =  0  ->  ( ! `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( ! `
 N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
3520, 34jaoi 690 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0 )  ->  ( ! `  ( N  +  1
) )  =  ( ( ! `  N
)  x.  ( N  +  1 ) ) )
361, 35sylbi 120 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ! `  N )  x.  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465    _I cid 4180   ` cfv 5093  (class class class)co 5742   CCcc 7586   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591    x. cmul 7593   NNcn 8688   NN0cn0 8945   ZZ>=cuz 9294    seqcseq 10186   !cfa 10439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-seqfrec 10187  df-fac 10440
This theorem is referenced by:  fac2  10445  fac3  10446  fac4  10447  facnn2  10448  faccl  10449  facdiv  10452  facwordi  10454  faclbnd  10455  faclbnd6  10458  facubnd  10459  bcm1k  10474  bcp1n  10475  4bc2eq6  10488  efcllemp  11291  ef01bndlem  11390  eirraplem  11410  dvdsfac  11485  prmfac1  11757  ex-fac  12867
  Copyright terms: Public domain W3C validator