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Theorem facwordi 9764
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  0 ) )
21anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 ) ) )
3 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
43breq2d 3805 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0 )
) )
52, 4imbi12d 232 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
0 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0
) ) ) )
6 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
76anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k ) ) )
8 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98breq2d 3805 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) )
107, 9imbi12d 232 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
k )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) ) ) )
11 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
1211anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1413breq2d 3805 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
1512, 14imbi12d 232 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 breq2 3797 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
1716anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
18 fveq2 5209 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
1918breq2d 3805 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N )
) )
2017, 19imbi12d 232 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) ) ) )
21 nn0le0eq0 8383 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  0  <->  M  = 
0 ) )
2221biimpa 290 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  ->  M  =  0 )
2322fveq2d 5213 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  =  ( ! `
 0 ) )
24 fac0 9752 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
25 1re 7180 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2624, 25eqeltri 2152 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  e.  RR
2726leidi 7653 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  <_ 
( ! `  0
)
2823, 27syl6eqbr 3830 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  0 ) )
29 impexp 259 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) ) )
30 simpl 107 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
3130nn0zd 8548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
32 peano2nn0 8395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3332adantl 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN0 )
3433nn0zd 8548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
35 zleloe 8479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( M  <  (
k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
37 nn0leltp1 8495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
38 faccl 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3938nnred 8119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  RR )
40 nn0re 8364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
41 peano2re 7311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
4338nnnn0d 8408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e. 
NN0 )
4443nn0ge0d 8411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  k
) )
45 nn0p1nn 8394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4645nnge1d 8148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( k  +  1 ) )
4739, 42, 44, 46lemulge11d 8082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
48 facp1 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4947, 48breqtrrd 3819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
5049adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
51 faccl 9759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
5251nnred 8119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
5352adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
5439adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
5532faccld 9760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5655nnred 8119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5756adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
58 letr 7261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  k )  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6050, 59mpan2d 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6160imim2d 53 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6261com23 77 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  ->  ( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6337, 62sylbird 168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
64 fveq2 5209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
6552leidd 7682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  M
) )
66 breq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  M )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6765, 66syl5ibcom 153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6864, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6968adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
7069a1dd 47 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7163, 70jaod 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7236, 71sylbid 148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7372ex 113 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473com13 79 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574com4l 83 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7675a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( M  e. 
NN0  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7776imp4a 341 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7829, 77syl5bi 150 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
795, 10, 15, 20, 28, 78nn0ind 8542 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  N ) ) )
80793impib 1137 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
81803com12 1143 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 662    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793   ` cfv 4932  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    x. cmul 7048    < clt 7215    <_ cle 7216   NN0cn0 8355   ZZcz 8432   !cfa 9749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-mulrcl 7137  ax-addcom 7138  ax-mulcom 7139  ax-addass 7140  ax-mulass 7141  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-1rid 7145  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-precex 7148  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154  ax-pre-mulgt0 7155  ax-pre-mulext 7156
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-po 4059  df-iso 4060  df-iord 4129  df-on 4131  df-ilim 4132  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-frec 6040  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-reap 7742  df-ap 7749  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433  df-uz 8701  df-iseq 9522  df-fac 9750
This theorem is referenced by:  facavg  9770
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