Theorem ffvelrn 5553

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelrn	|- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Proof of Theorem ffvelrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5272	. . 3 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
2		fnfvelrn 5552	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
3	1, 2	sylan 281	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. ran F )
4		frn 5281	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ran F C_ B )
5	4	sseld 3096	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
6	5	adantr 274	. 2 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F ` C ) e. ran F -> ( F ` C ) e. B ) )
7	3, 6	mpd 13	1 |- ( ( F : A --> B /\ C e. A ) -> ( F ` C ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   ran crn 4540   Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  ffvelrni  5554  ffvelrnda  5555  dffo3  5567  ffnfv  5578  ffvresb  5583  fcompt  5590  fsn2  5594  fvconst  5608  foco2  5655  fcofo  5685  cocan1  5688  isocnv  5712  isores2  5714  isopolem  5723  isosolem  5725  fovrn  5913  off  5994  mapsncnv  6589  2dom  6699  enm  6714  xpdom2  6725  xpmapenlem  6743  fiintim  6817  isotilem  6893  updjudhf  6964  exmidomniim  7013  shftf  10602  summodclem2a  11150  isumcl  11194  mertenslem2  11305  nn0seqcvgd  11722  algrf  11726  eucalg  11740  phimullem  11901  upxp  12441  uptx  12443  txhmeo  12488  cncfmet  12748  dvaddxxbr  12834  dvcj  12842  dvfre  12843