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Theorem fidifsnen 6362
Description: All decrements of a finite set are equinumerous. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
fidifsnen  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )

Proof of Theorem fidifsnen
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difexg 3926 . . . . . 6  |-  ( X  e.  Fin  ->  ( X  \  { A }
)  e.  _V )
213ad2ant1 936 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
32adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
4 enrefg 6275 . . . 4  |-  ( ( X  \  { A } )  e.  _V  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { A }
) )
53, 4syl 14 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { A } ) )
6 sneq 3414 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  { A }  =  { B } )
76difeq2d 3090 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  ( X  \  { A }
)  =  ( X 
\  { B }
) )
87adantl 266 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } )  =  ( X  \  { B } ) )
95, 8breqtrd 3816 . 2  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  A  =  B
)  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { B } ) )
102adantr 265 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( X  \  { A } )  e.  _V )
11 eqid 2056 . . . 4  |-  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x
) )  =  ( x  e.  ( X 
\  { A }
)  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
12 iftrue 3364 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
1312adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
14 simpll2 955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  A  e.  X )
1514adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  A  e.  X )
1613, 15eqeltrd 2130 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X )
17 simpllr 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  -.  A  =  B )
1813eqeq1d 2064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  B  <->  A  =  B ) )
1917, 18mtbird 608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  -.  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  B )
2019neneqad 2299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B )
21 eldifsn 3523 . . . . . 6  |-  ( if ( x  =  B ,  A ,  x
)  e.  ( X 
\  { B }
)  <->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X  /\  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B ) )
2216, 20, 21sylanbrc 402 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  ( X  \  { B } ) )
23 iffalse 3367 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  =  B  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  =  x )
2423adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  x )
25 eldifi 3094 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( X  \  { A } )  ->  x  e.  X )
2625ad2antlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  x  e.  X )
2724, 26eqeltrd 2130 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  X
)
28 simpr 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  x  =  B )
2924eqeq1d 2064 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  ( if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  B  <-> 
x  =  B ) )
3028, 29mtbird 608 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  -.  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  B )
3130neneqad 2299 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =/=  B
)
3227, 31, 21sylanbrc 402 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A }
) )  /\  -.  x  =  B )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  e.  ( X  \  { B } ) )
33 simpll1 954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  X  e.  Fin )
3425adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  x  e.  X )
35 simpll3 956 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  B  e.  X )
36 fidceq 6361 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  x  e.  X  /\  B  e.  X )  -> DECID  x  =  B )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  -> DECID  x  =  B )
38 exmiddc 755 . . . . . 6  |-  (DECID  x  =  B  ->  ( x  =  B  \/  -.  x  =  B )
)
3937, 38syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  -> 
( x  =  B  \/  -.  x  =  B ) )
4022, 32, 39mpjaodan 722 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  x  e.  ( X  \  { A } ) )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  e.  ( X 
\  { B }
) )
41 iftrue 3364 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
4241adantl 266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
43 simpl3 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  X )
44 simpr 107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  -.  A  =  B )
4544neneqad 2299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  A  =/=  B )
4645necomd 2306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  =/=  A )
47 eldifsn 3523 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( X  \  { A } )  <->  ( B  e.  X  /\  B  =/= 
A ) )
4843, 46, 47sylanbrc 402 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  ( X  \  { A } ) )
4948ad2antrr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  B  e.  ( X  \  { A } ) )
5042, 49eqeltrd 2130 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  e.  ( X 
\  { A }
) )
51 iffalse 3367 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  A  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  y )
5251adantl 266 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  =  y )
53 eldifi 3094 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( X  \  { B } )  -> 
y  e.  X )
5453ad2antlr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  X )
55 simpr 107 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  y  =  A )
5655neneqad 2299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  =/=  A )
57 eldifsn 3523 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( X  \  { A } )  <->  ( y  e.  X  /\  y  =/=  A ) )
5854, 56, 57sylanbrc 402 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  ( X 
\  { A }
) )
5952, 58eqeltrd 2130 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B }
) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  e.  ( X  \  { A } ) )
60 simpll1 954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  X  e.  Fin )
6153adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> 
y  e.  X )
62 simpll2 955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  A  e.  X )
63 fidceq 6361 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  e.  X  /\  A  e.  X )  -> DECID  y  =  A )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> DECID  y  =  A )
65 exmiddc 755 . . . . . 6  |-  (DECID  y  =  A  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A )
)
6664, 65syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  -> 
( y  =  A  \/  -.  y  =  A ) )
6750, 59, 66mpjaodan 722 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  e.  ( X 
\  { A }
) )
6812adantl 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  if (
x  =  B ,  A ,  x )  =  A )
6968eqeq2d 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  <->  y  =  A ) )
7069biimpar 285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
7170a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  y  =  A )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) )
72 simpr 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) )
7351eqeq2d 2067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  y  =  A  -> 
( x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  y
) )
7473ad2antlr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  y ) )
7572, 74mpbid 139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  y )
76 simpllr 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  x  =  B )
7775, 76eqtr3d 2090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  B )
78 simprr 492 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  y  e.  ( X  \  { B } ) )
7978ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  e.  ( X 
\  { B }
) )
8079eldifbd 2958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  -.  y  e.  { B } )
8180adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  -.  y  e.  { B } )
82 velsn 3420 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  { B }  <->  y  =  B )
8381, 82sylnib 611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  -.  y  =  B )
8477, 83pm2.21dd 560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
8584ex 112 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  /\  -.  y  =  A )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
86 simpll1 954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  X  e.  Fin )
8753ad2antll 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  y  e.  X
)
88 simpll2 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  A  e.  X
)
8986, 87, 88, 63syl3anc 1146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  -> DECID 
y  =  A )
9089, 65syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A ) )
9190adantr 265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  A  \/  -.  y  =  A )
)
9271, 85, 91mpjaodan 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) ) )
9341eqeq2d 2067 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  x  =  B ) )
9493biimprcd 153 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
y  =  A  ->  x  =  if (
y  =  A ,  B ,  y )
) )
9594adantl 266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  A  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) ) )
9669, 95sylbid 143 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) ) )
9792, 96impbid 124 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  x  =  B )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
98 simplr 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y ) )
9941adantl 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B ,  y )  =  B )
10098, 99eqtrd 2088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  x  =  B )
101 simpllr 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  -.  x  =  B )
102100, 101pm2.21dd 560 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
10323ad3antlr 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( x  =  B ,  A ,  x )  =  x )
104 simplr 490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )
)
10551adantl 266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  if ( y  =  A ,  B , 
y )  =  y )
106104, 105eqtrd 2088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  x  =  y )
107103, 106eqtr2d 2089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  /\  -.  y  =  A )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )
)
10890ad2antrr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  (
y  =  A  \/  -.  y  =  A
) )
109102, 107, 108mpjaodan 722 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )
110 simprl 491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  x  e.  ( X  \  { A } ) )
111110eldifbd 2958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  -.  x  e.  { A } )
112 velsn 3420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { A }  <->  x  =  A )
113111, 112sylnib 611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  -.  x  =  A )
114113ad2antrr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  -.  x  =  A )
115 simpr 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) )
11623eqeq2d 2067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  B  -> 
( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
)  <->  y  =  x ) )
117116ad2antlr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  ( y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x )  <->  y  =  x ) )
118115, 117mpbid 139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  y  =  x )
119118eqeq1d 2064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  ( y  =  A  <->  x  =  A
) )
120114, 119mtbird 608 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  -.  y  =  A )
121120, 51syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  if (
y  =  A ,  B ,  y )  =  y )
122121, 118eqtr2d 2089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  /\  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) )  ->  x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y ) )
123109, 122impbida 538 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  /\  -.  x  =  B )  ->  (
x  =  if ( y  =  A ,  B ,  y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x ) ) )
12439adantrr 456 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( x  =  B  \/  -.  x  =  B ) )
12597, 123, 124mpjaodan 722 . . . 4  |-  ( ( ( ( X  e. 
Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  -.  A  =  B )  /\  (
x  e.  ( X 
\  { A }
)  /\  y  e.  ( X  \  { B } ) ) )  ->  ( x  =  if ( y  =  A ,  B , 
y )  <->  y  =  if ( x  =  B ,  A ,  x
) ) )
12611, 40, 67, 125f1o2d 5733 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) : ( X 
\  { A }
)
-1-1-onto-> ( X  \  { B } ) )
127 f1oeng 6268 . . 3  |-  ( ( ( X  \  { A } )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( X  \  { A } )  |->  if ( x  =  B ,  A ,  x )
) : ( X 
\  { A }
)
-1-1-onto-> ( X  \  { B } ) )  -> 
( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )
12810, 126, 127syl2anc 397 . 2  |-  ( ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -.  A  =  B )  ->  ( X  \  { A } ) 
~~  ( X  \  { B } ) )
129 fidceq 6361 . . 3  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  -> DECID  A  =  B )
130 exmiddc 755 . . 3  |-  (DECID  A  =  B  ->  ( A  =  B  \/  -.  A  =  B )
)
131129, 130syl 14 . 2  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A  =  B  \/  -.  A  =  B ) )
1329, 128, 131mpjaodan 722 1  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( X  \  { A } )  ~~  ( X  \  { B }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ wo 639  DECID wdc 753    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409    =/= wne 2220   _Vcvv 2574    \ cdif 2942   ifcif 3359   {csn 3403   class class class wbr 3792    |-> cmpt 3846   -1-1-onto->wf1o 4929    ~~ cen 6250   Fincfn 6252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-if 3360  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-en 6253  df-fin 6255
This theorem is referenced by:  dif1en  6368
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