ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Unicode version

Theorem fimaxre2 10310
Description: A nonempty finite set of real numbers has an upper bound. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre2
Dummy variables  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3029 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  RR  <->  (/)  C_  RR )
)
2 raleq 2554 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) )
32rexbidv 2374 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) )
41, 3imbi12d 232 . . 3  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( (/)  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x ) ) )
5 sseq1 3029 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  (
w  C_  RR  <->  u  C_  RR ) )
6 raleq 2554 . . . . 5  |-  ( w  =  u  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
76rexbidv 2374 . . . 4  |-  ( w  =  u  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )
85, 7imbi12d 232 . . 3  |-  ( w  =  u  ->  (
( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) ) )
9 sseq1 3029 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( w  C_  RR 
<->  ( u  u.  {
v } )  C_  RR ) )
10 raleq 2554 . . . . 5  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  (
u  u.  { v } ) y  <_  x ) )
1110rexbidv 2374 . . . 4  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x )
)
129, 11imbi12d 232 . . 3  |-  ( w  =  ( u  u. 
{ v } )  ->  ( ( w 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x
)  <->  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x )
) )
13 sseq1 3029 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  (
w  C_  RR  <->  A  C_  RR ) )
14 raleq 2554 . . . . 5  |-  ( w  =  A  ->  ( A. y  e.  w  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
1514rexbidv 2374 . . . 4  |-  ( w  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
1613, 15imbi12d 232 . . 3  |-  ( w  =  A  ->  (
( w  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  w  y  <_  x )  <->  ( A  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) ) )
17 0re 7233 . . . . 5  |-  0  e.  RR
18 ral0 3359 . . . . 5  |-  A. y  e.  (/)  y  <_  0
19 breq2 3809 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  0 ) )
2019ralbidv 2373 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  (/)  y  <_  x 
<-> 
A. y  e.  (/)  y  <_  0 ) )
2120rspcev 2710 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  (/)  y  <_ 
0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x )
2217, 18, 21mp2an 417 . . . 4  |-  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x
2322a1i 9 . . 3  |-  ( (/)  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  (/)  y  <_  x )
24 unss 3156 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  C_  RR  /\  {
v }  C_  RR ) 
<->  ( u  u.  {
v } )  C_  RR )
2524biimpri 131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  ( u  C_  RR  /\ 
{ v }  C_  RR ) )
2625simpld 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  u  C_  RR )
2726adantl 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  u  C_  RR )
28 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  -> 
( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
2927, 28mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )
30 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  s  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  s ) )
3130ralbidv 2373 . . . . . . 7  |-  ( x  =  s  ->  ( A. y  e.  u  y  <_  x  <->  A. y  e.  u  y  <_  s ) )
3231cbvrexv 2583 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x  <->  E. s  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  s )
3329, 32sylib 120 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. s  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  s )
34 simprl 498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  s  e.  RR )
3525simprd 112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  { v }  C_  RR )
36 vex 2613 . . . . . . . . . 10  |-  v  e. 
_V
3736snss 3534 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  <->  { v }  C_  RR )
3835, 37sylibr 132 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { v } )  C_  RR  ->  v  e.  RR )
3938ad2antlr 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  v  e.  RR )
40 maxcl 10297 . . . . . . 7  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
4134, 39, 40syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
42 nfv 1462 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  u  e.  Fin
43 nfv 1462 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y  u  C_  RR
44 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y RR
45 nfra1 2402 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y A. y  e.  u  y  <_  x
4644, 45nfrexxy 2408 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
4743, 46nfim 1505 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )
4842, 47nfan 1498 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )
49 nfv 1462 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( u  u.  {
v } )  C_  RR
5048, 49nfan 1498 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )
51 nfv 1462 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y  s  e.  RR
52 nfra1 2402 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y A. y  e.  u  y  <_  s
5351, 52nfan 1498 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( s  e.  RR  /\ 
A. y  e.  u  y  <_  s )
5450, 53nfan 1498 . . . . . . . 8  |-  F/ y ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )
55 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  y  <_  s )
56 maxle1 10298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
5734, 39, 56syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
58 r19.27av 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  u  y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  A. y  e.  u  ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
5955, 57, 58syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6059r19.21bi 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  (
y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6127ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  u  C_  RR )
62 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  e.  u )
6361, 62sseldd 3009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  e.  RR )
6434adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  s  e.  RR )
6541adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
66 letr 7313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR  /\  s  e.  RR  /\  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR )  ->  ( ( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  (
( y  <_  s  /\  s  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
6860, 67mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( u  e.  Fin  /\  (
u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  /\  y  e.  u )  ->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
6968ex 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  (
y  e.  u  -> 
y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7054, 69ralrimi 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  u  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
71 maxle2 10299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  v  e.  RR )  ->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
7234, 39, 71syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
73 breq1 3808 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  v  ->  (
y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7473ralsng 3451 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  RR  ->  ( A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7539, 74syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  ( A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  <->  v  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
7672, 75mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
77 ralun 3164 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  u  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  /\  A. y  e.  { v } y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
7870, 76, 77syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )
79 breq2 3809 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  ->  ( y  <_  x 
<->  y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
8079ralbidv 2373 . . . . . . 7  |-  ( x  =  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  ->  ( A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x  <->  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) ) )
8180rspcev 2710 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  )  e.  RR  /\  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  sup ( { s ,  v } ,  RR ,  <  ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x
)
8241, 78, 81syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  e. 
Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x
) )  /\  (
u  u.  { v } )  C_  RR )  /\  ( s  e.  RR  /\  A. y  e.  u  y  <_  s ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x )
8333, 82rexlimddv 2486 . . . 4  |-  ( ( ( u  e.  Fin  /\  ( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x ) )  /\  ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  { v } ) y  <_  x
)
8483exp31 356 . . 3  |-  ( u  e.  Fin  ->  (
( u  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  u  y  <_  x )  -> 
( ( u  u. 
{ v } ) 
C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( u  u.  {
v } ) y  <_  x ) ) )
854, 8, 12, 16, 23, 84findcard2 6445 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  C_  RR  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
8685impcom 123 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   A.wral 2353   E.wrex 2354    u. cun 2980    C_ wss 2982   (/)c0 3267   {csn 3416   {cpr 3417   class class class wbr 3805   Fincfn 6308   supcsup 6489   RRcr 7094   0cc0 7095    < clt 7267    <_ cle 7268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-er 6193  df-en 6309  df-fin 6311  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-rp 8868  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator