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Theorem findcard2sd 6426
Description: Deduction form of finite set induction . (Contributed by Jim Kingdon, 14-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
findcard2sd.ch  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
findcard2sd.th  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
findcard2sd.ta  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
findcard2sd.et  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
findcard2sd.z  |-  ( ph  ->  ch )
findcard2sd.i  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( th  ->  ta ) )
findcard2sd.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
findcard2sd  |-  ( ph  ->  et )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x, y, z    ps, y, z    ch, x    th, x    ta, x    et, x
Allowed substitution hints:    ps( x)    ch( y,
z)    th( y, z)    ta( y, z)    et( y, z)

Proof of Theorem findcard2sd
StepHypRef Expression
1 ssid 3019 . 2  |-  A  C_  A
2 findcard2sd.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
32adantr 270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  A  e.  Fin )
4 sseq1 3021 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
54anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
ph  /\  x  C_  A
)  <->  ( ph  /\  (/)  C_  A ) ) )
6 findcard2sd.ch . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ps  <->  ch ) )
75, 6imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps ) 
<->  ( ( ph  /\  (/)  C_  A )  ->  ch ) ) )
8 sseq1 3021 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
98anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  y  C_  A )
) )
10 findcard2sd.th . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ps 
<->  th ) )
119, 10imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th ) ) )
12 sseq1 3021 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1312anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  /\  x  C_  A )  <->  (
ph  /\  ( y  u.  { z } ) 
C_  A ) ) )
14 findcard2sd.ta . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ps  <->  ta )
)
1513, 14imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
ph  /\  x  C_  A
)  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  (
y  u.  { z } )  C_  A
)  ->  ta )
) )
16 sseq1 3021 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  C_  A  <->  A  C_  A
) )
1716anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ph  /\  x  C_  A )  <->  ( ph  /\  A  C_  A )
) )
18 findcard2sd.et . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  et ) )
1917, 18imbi12d 232 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( ph  /\  x  C_  A )  ->  ps )  <->  ( ( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) ) )
20 findcard2sd.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  ch )
2120adantr 270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  (/)  C_  A
)  ->  ch )
22 simprl 498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  ph )
23 simprr 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  A )
2423unssad 3150 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  C_  A )
2522, 24jca 300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ph  /\  y  C_  A ) )
26 simpll 496 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
y  e.  Fin )
27 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  ( y  u.  {
z } )  C_  A )
28 vsnid 3434 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
{ z }
29 elun2 3141 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  { z }  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3028, 29mp1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  ( y  u.  { z } ) )
3127, 30sseldd 3001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  A  ->  z  e.  A )
3231ad2antll 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  A )
33 simplr 497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  ->  -.  z  e.  y
)
3432, 33eldifd 2984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
z  e.  ( A 
\  y ) )
35 findcard2sd.i . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  Fin )  /\  (
y  C_  A  /\  z  e.  ( A  \  y ) ) )  ->  ( th  ->  ta ) )
3622, 26, 24, 34, 35syl22anc 1171 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( th  ->  ta ) )
3725, 36embantd 55 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) )
3837ex 113 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )  -> 
( ( ( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ta ) ) )
3938com23 77 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( (
( ph  /\  y  C_  A )  ->  th )  ->  ( ( ph  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ta ) ) )
407, 11, 15, 19, 21, 39findcard2s 6424 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
( ph  /\  A  C_  A )  ->  et ) )
413, 40mpcom 36 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  C_  A
)  ->  et )
421, 41mpan2 416 1  |-  ( ph  ->  et )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434    \ cdif 2971    u. cun 2972    C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   Fincfn 6287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-if 3360  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-er 6172  df-en 6288  df-fin 6290
This theorem is referenced by:  unfidisj  6442  undiffi  6443  fnfi  6446  sizeunlem  9828
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