ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiprc Unicode version

Theorem fiprc 6677
Description: The class of finite sets is a proper class. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Oct-2008.)
Assertion
Ref Expression
fiprc  |-  Fin  e/  _V

Proof of Theorem fiprc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snnex 4339 . 2  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V
2 vex 2663 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
3 snfig 6676 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  _V  ->  { y }  e.  Fin )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  { y }  e.  Fin
5 eleq1 2180 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  ( x  e. 
Fin 
<->  { y }  e.  Fin ) )
64, 5mpbiri 167 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  x  e.  Fin )
76exlimiv 1562 . . . . . 6  |-  ( E. y  x  =  {
y }  ->  x  e.  Fin )
87abssi 3142 . . . . 5  |-  { x  |  E. y  x  =  { y } }  C_ 
Fin
9 ssexg 4037 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y  x  =  {
y } }  C_  Fin  /\  Fin  e.  _V )  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
108, 9mpan 420 . . . 4  |-  ( Fin 
e.  _V  ->  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
1110con3i 606 . . 3  |-  ( -. 
{ x  |  E. y  x  =  {
y } }  e.  _V  ->  -.  Fin  e.  _V )
12 df-nel 2381 . . 3  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  <->  -.  { x  |  E. y  x  =  { y } }  e.  _V )
13 df-nel 2381 . . 3  |-  ( Fin 
e/  _V  <->  -.  Fin  e.  _V )
1411, 12, 133imtr4i 200 . 2  |-  ( { x  |  E. y  x  =  { y } }  e/  _V  ->  Fin 
e/  _V )
151, 14ax-mp 5 1  |-  Fin  e/  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   {cab 2103    e/ wnel 2380   _Vcvv 2660    C_ wss 3041   {csn 3497   Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-1o 6281  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator