ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flltdivnn0lt Unicode version

Theorem flltdivnn0lt 9254
Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flltdivnn0lt  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  ( K  <  N  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  < 
( N  /  L
) ) )

Proof of Theorem flltdivnn0lt
StepHypRef Expression
1 simp1 915 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  K  e.  NN0 )
21nn0zd 8417 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  K  e.  ZZ )
3 simp3 917 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  L  e.  NN )
4 znq 8656 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( K  /  L
)  e.  QQ )
54flqcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  e.  ZZ )
62, 3, 5syl2anc 397 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  e.  ZZ )
76adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( |_ `  ( K  /  L
) )  e.  ZZ )
87zred 8419 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( |_ `  ( K  /  L
) )  e.  RR )
92adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  K  e.  ZZ )
103adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  L  e.  NN )
11 qre 8657 . . . . 5  |-  ( ( K  /  L )  e.  QQ  ->  ( K  /  L )  e.  RR )
124, 11syl 14 . . . 4  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( K  /  L
)  e.  RR )
139, 10, 12syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( K  /  L )  e.  RR )
14 simp2 916 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
1514nn0zd 8417 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
1615adantr 265 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  N  e.  ZZ )
17 znq 8656 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( N  /  L
)  e.  QQ )
18 qre 8657 . . . . 5  |-  ( ( N  /  L )  e.  QQ  ->  ( N  /  L )  e.  RR )
1917, 18syl 14 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  NN )  ->  ( N  /  L
)  e.  RR )
2016, 10, 19syl2anc 397 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( N  /  L )  e.  RR )
21 fldivnn0le 9253 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  <_  ( K  /  L ) )
22213adant2 934 . . . 4  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  <_ 
( K  /  L
) )
2322adantr 265 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( |_ `  ( K  /  L
) )  <_  ( K  /  L ) )
24 simpr 107 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  K  <  N
)
25 nn0re 8248 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  NN0  ->  K  e.  RR )
26 nn0re 8248 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
27 nnre 7997 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  NN  ->  L  e.  RR )
28 nngt0 8015 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  NN  ->  0  <  L )
2927, 28jca 294 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  NN  ->  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) )
3025, 26, 293anim123i 1100 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) ) )
3130adantr 265 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) ) )
32 ltdiv1 7909 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) )  -> 
( K  <  N  <->  ( K  /  L )  <  ( N  /  L ) ) )
3331, 32syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( K  < 
N  <->  ( K  /  L )  <  ( N  /  L ) ) )
3424, 33mpbid 139 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( K  /  L )  <  ( N  /  L ) )
358, 13, 20, 23, 34lelttrd 7200 . 2  |-  ( ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  /\  K  <  N )  ->  ( |_ `  ( K  /  L
) )  <  ( N  /  L ) )
3635ex 112 1  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  L  e.  NN )  ->  ( K  <  N  ->  ( |_ `  ( K  /  L ) )  < 
( N  /  L
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    e. wcel 1409   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   RRcr 6946   0cc0 6947    < clt 7119    <_ cle 7120    / cdiv 7725   NNcn 7990   NN0cn0 8239   ZZcz 8302   QQcq 8651   |_cfl 9220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060  ax-arch 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-n0 8240  df-z 8303  df-q 8652  df-rp 8682  df-fl 9222
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator