Theorem flodddiv4t2lthalf 10544

Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flodddiv4t2lthalf	|- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flodddiv4lt 10543	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) )
2		4nn 8314	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN
3		znq 8842	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 4 e. NN ) -> ( N / 4 ) e. QQ )
4	2, 3	mpan2 416	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. QQ )
5	4	flqcld 9411	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. ZZ )
6	5	zred 8602	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
7	6	adantr 270	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR )
8		qre 8843	. . . . . 6 |- ( ( N / 4 ) e. QQ -> ( N / 4 ) e. RR )
9	4, 8	syl 14	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 4 ) e. RR )
10	9	adantr 270	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 4 ) e. RR )
11		2re 8228	. . . . . 6 |- 2 e. RR
12		2pos 8249	. . . . . 6 |- 0 < 2
13	11, 12	pm3.2i 266	. . . . 5 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
15		ltmul1 7811	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) e. RR /\ ( N / 4 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
16	7, 10, 14, 15	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) < ( N / 4 ) <-> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) ) )
17	1, 16	mpbid 145	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
18		zcn 8489	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
19	18	halfcld 8394	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) e. CC )
20		2cnd 8231	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
21		2ap0 8251	. . . . . 6 |- 2 # 0
22	21	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
23	19, 20, 22	divcanap1d 7997	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( N / 2 ) )
24	18, 20, 20, 22, 22	divdivap1d 8027	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / ( 2 x. 2 ) ) )
25		2t2e4 8305	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 2 ) = 4
26	25	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. 2 ) = 4 )
27	26	oveq2d 5579	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N / ( 2 x. 2 ) ) = ( N / 4 ) )
28	24, 27	eqtrd 2115	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) / 2 ) = ( N / 4 ) )
29	28	oveq1d 5578	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( N / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
30	23, 29	eqtr3d 2117	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
31	30	adantr 270	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( N / 2 ) = ( ( N / 4 ) x. 2 ) )
32	17, 31	breqtrrd 3831	1 |- ( ( N e. ZZ /\ -. 2 || N ) -> ( ( |_ ` ( N / 4 ) ) x. 2 ) < ( N / 2 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   RRcr 7094   0cc0 7095   x. cmul 7100   < clt 7267   # cap 7800   / cdiv 7879   NNcn 8158   2c2 8208   4c4 8210   ZZcz 8484   QQcq 8837   |_cfl 9402   || cdvds 10403

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-dvds 10404

This theorem is referenced by: (None)