ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flodddiv4t2lthalf Unicode version

Theorem flodddiv4t2lthalf 10544
Description: The floor of an odd number divided by 4, multiplied by 2 is less than the half of the odd number. (Contributed by AV, 4-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4t2lthalf  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  x.  2 )  <  ( N  /  2 ) )

Proof of Theorem flodddiv4t2lthalf
StepHypRef Expression
1 flodddiv4lt 10543 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  <  ( N  /  4 ) )
2 4nn 8314 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN
3 znq 8842 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  4  e.  NN )  ->  ( N  /  4
)  e.  QQ )
42, 3mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  4 )  e.  QQ )
54flqcld 9411 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  e.  ZZ )
65zred 8602 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  e.  RR )
76adantr 270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( |_ `  ( N  /  4
) )  e.  RR )
8 qre 8843 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  4 )  e.  QQ  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
94, 8syl 14 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  4 )  e.  RR )
109adantr 270 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( N  / 
4 )  e.  RR )
11 2re 8228 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
12 2pos 8249 . . . . . 6  |-  0  <  2
1311, 12pm3.2i 266 . . . . 5  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
15 ltmul1 7811 . . . 4  |-  ( ( ( |_ `  ( N  /  4 ) )  e.  RR  /\  ( N  /  4 )  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
( ( |_ `  ( N  /  4
) )  <  ( N  /  4 )  <->  ( ( |_ `  ( N  / 
4 ) )  x.  2 )  <  (
( N  /  4
)  x.  2 ) ) )
167, 10, 14, 15syl3anc 1170 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  < 
( N  /  4
)  <->  ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  x.  2 )  <  (
( N  /  4
)  x.  2 ) ) )
171, 16mpbid 145 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  x.  2 )  <  (
( N  /  4
)  x.  2 ) )
18 zcn 8489 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1918halfcld 8394 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  e.  CC )
20 2cnd 8231 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
21 2ap0 8251 . . . . . 6  |-  2 #  0
2221a1i 9 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2 #  0 )
2319, 20, 22divcanap1d 7997 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  / 
2 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
2418, 20, 20, 22, 22divdivap1d 8027 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  /  2 )  =  ( N  / 
( 2  x.  2 ) ) )
25 2t2e4 8305 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
2625a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  2 )  =  4 )
2726oveq2d 5579 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  ( 2  x.  2 ) )  =  ( N  /  4
) )
2824, 27eqtrd 2115 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  /  2
)  /  2 )  =  ( N  / 
4 ) )
2928oveq1d 5578 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( N  / 
2 )  /  2
)  x.  2 )  =  ( ( N  /  4 )  x.  2 ) )
3023, 29eqtr3d 2117 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  /  2 )  =  ( ( N  / 
4 )  x.  2 ) )
3130adantr 270 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( N  / 
2 )  =  ( ( N  /  4
)  x.  2 ) )
3217, 31breqtrrd 3831 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  N )  ->  ( ( |_
`  ( N  / 
4 ) )  x.  2 )  <  ( N  /  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5563   RRcr 7094   0cc0 7095    x. cmul 7100    < clt 7267   # cap 7800    / cdiv 7879   NNcn 8158   2c2 8208   4c4 8210   ZZcz 8484   QQcq 8837   |_cfl 9402    || cdvds 10403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-q 8838  df-rp 8868  df-fl 9404  df-dvds 10404
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator