Theorem flqaddz 9449

Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqaddz	|- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Proof of Theorem flqaddz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqcl 9425	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
2	1	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
3	2	zred 8620	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
4		qre 8861	. . . 4 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
5	4	adantr 270	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. RR )
6		simpr 108	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
7	6	zred 8620	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
8		flqle 9430	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
9	8	adantr 270	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
10	3, 5, 7, 9	leadd1dd 7796	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) )
11		1red 7266	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. RR )
12	3, 11	readdcld 7280	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		flqltp1 9431	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
14	13	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
15	5, 12, 7, 14	ltadd1dd 7793	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) )
16	2	zcnd 8621	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
17		1cnd 7267	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. CC )
18	6	zcnd 8621	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
19	16, 17, 18	add32d 7413	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) + N ) = ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
20	15, 19	breqtrd 3829	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) )
21		zq 8862	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
22		qaddcl 8871	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. QQ ) -> ( A + N ) e. QQ )
23	21, 22	sylan2 280	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( A + N ) e. QQ )
24		simpl 107	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> A e. QQ )
25	24	flqcld 9429	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
26	25, 6	zaddcld 8624	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ )
27		flqbi 9442	. . 3 |- ( ( ( A + N ) e. QQ /\ ( ( |_ ` A ) + N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
28	23, 26, 27	syl2anc 403	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) <-> ( ( ( |_ ` A ) + N ) <_ ( A + N ) /\ ( A + N ) < ( ( ( |_ ` A ) + N ) + 1 ) ) ) )
29	10, 20, 28	mpbir2and 886	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A + N ) ) = ( ( |_ ` A ) + N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1285   e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5564   RRcr 7112   1c1 7114   + caddc 7116   < clt 7285   <_ cle 7286   ZZcz 8502   QQcq 8855   |_cfl 9420

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-q 8856  df-rp 8886  df-fl 9422

This theorem is referenced by:  flqzadd  9450  modqcyc  9511