ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  flqaddz Unicode version

Theorem flqaddz 9449
Description: An integer can be moved in and out of the floor of a sum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
flqaddz  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )

Proof of Theorem flqaddz
StepHypRef Expression
1 flqcl 9425 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
21adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
32zred 8620 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
4 qre 8861 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
54adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
6 simpr 108 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
76zred 8620 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
8 flqle 9430 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
98adantr 270 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
103, 5, 7, 9leadd1dd 7796 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <_  ( A  +  N ) )
11 1red 7266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
123, 11readdcld 7280 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
13 flqltp1 9431 . . . . 5  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
1413adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
155, 12, 7, 14ltadd1dd 7793 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  N ) )
162zcnd 8621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  CC )
17 1cnd 7267 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  CC )
186zcnd 8621 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
1916, 17, 18add32d 7413 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  N
)  =  ( ( ( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
2015, 19breqtrd 3829 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) )
21 zq 8862 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
22 qaddcl 8871 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  QQ )  ->  ( A  +  N
)  e.  QQ )
2321, 22sylan2 280 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  +  N
)  e.  QQ )
24 simpl 107 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  QQ )
2524flqcld 9429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  A
)  e.  ZZ )
2625, 6zaddcld 8624 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )
27 flqbi 9442 . . 3  |-  ( ( ( A  +  N
)  e.  QQ  /\  ( ( |_ `  A )  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( |_
`  ( A  +  N ) )  =  ( ( |_ `  A )  +  N
)  <->  ( ( ( |_ `  A )  +  N )  <_ 
( A  +  N
)  /\  ( A  +  N )  <  (
( ( |_ `  A )  +  N
)  +  1 ) ) ) )
2823, 26, 27syl2anc 403 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( A  +  N
) )  =  ( ( |_ `  A
)  +  N )  <-> 
( ( ( |_
`  A )  +  N )  <_  ( A  +  N )  /\  ( A  +  N
)  <  ( (
( |_ `  A
)  +  N )  +  1 ) ) ) )
2910, 20, 28mpbir2and 886 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( |_ `  ( A  +  N )
)  =  ( ( |_ `  A )  +  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3805   ` cfv 4952  (class class class)co 5564   RRcr 7112   1c1 7114    + caddc 7116    < clt 7285    <_ cle 7286   ZZcz 8502   QQcq 8855   |_cfl 9420
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7199  ax-resscn 7200  ax-1cn 7201  ax-1re 7202  ax-icn 7203  ax-addcl 7204  ax-addrcl 7205  ax-mulcl 7206  ax-mulrcl 7207  ax-addcom 7208  ax-mulcom 7209  ax-addass 7210  ax-mulass 7211  ax-distr 7212  ax-i2m1 7213  ax-0lt1 7214  ax-1rid 7215  ax-0id 7216  ax-rnegex 7217  ax-precex 7218  ax-cnre 7219  ax-pre-ltirr 7220  ax-pre-ltwlin 7221  ax-pre-lttrn 7222  ax-pre-apti 7223  ax-pre-ltadd 7224  ax-pre-mulgt0 7225  ax-pre-mulext 7226  ax-arch 7227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-pnf 7287  df-mnf 7288  df-xr 7289  df-ltxr 7290  df-le 7291  df-sub 7418  df-neg 7419  df-reap 7812  df-ap 7819  df-div 7898  df-inn 8177  df-n0 8426  df-z 8503  df-q 8856  df-rp 8886  df-fl 9422
This theorem is referenced by:  flqzadd  9450  modqcyc  9511
  Copyright terms: Public domain W3C validator