Theorem flqge 9353

Description: The floor function value is the greatest integer less than or equal to its argument. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqge	|- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> B <_ ( |_ ` A ) ) )

Proof of Theorem flqge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flqltp1 9350	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> B e. ZZ )
4	3	zred 8539	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> B e. RR )
5		qre 8780	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
6	5	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A e. RR )
7		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 9348	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	peano2zd 8542	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
10	9	zred 8539	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11		lelttr 7255	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
12	4, 6, 10, 11	syl3anc 1170	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ A /\ A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
13	2, 12	mpan2d 419	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14		zleltp1 8476	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ ( |_ ` A ) e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	3, 8, 14	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) <-> B < ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16	13, 15	sylibrd 167	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A -> B <_ ( |_ ` A ) ) )
17		flqle 9349	. . . 4 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) <_ A )
18	17	adantr 270	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
19	8	zred 8539	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
20		letr 7250	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ ( |_ ` A ) /\ ( |_ ` A ) <_ A ) -> B <_ A ) )
21	4, 19, 6, 20	syl3anc 1170	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( ( B <_ ( |_ ` A ) /\ ( |_ ` A ) <_ A ) -> B <_ A ) )
22	18, 21	mpan2d 419	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ ( |_ ` A ) -> B <_ A ) )
23	16, 22	impbid 127	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. ZZ ) -> ( B <_ A <-> B <_ ( |_ ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   e. wcel 1434   class class class wbr 3787   ` cfv 4926  (class class class)co 5537   RRcr 7031   1c1 7033   + caddc 7035   < clt 7204   <_ cle 7205   ZZcz 8421   QQcq 8774   |_cfl 9339

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3898  ax-pow 3950  ax-pr 3966  ax-un 4190  ax-setind 4282  ax-cnex 7118  ax-resscn 7119  ax-1cn 7120  ax-1re 7121  ax-icn 7122  ax-addcl 7123  ax-addrcl 7124  ax-mulcl 7125  ax-mulrcl 7126  ax-addcom 7127  ax-mulcom 7128  ax-addass 7129  ax-mulass 7130  ax-distr 7131  ax-i2m1 7132  ax-0lt1 7133  ax-1rid 7134  ax-0id 7135  ax-rnegex 7136  ax-precex 7137  ax-cnre 7138  ax-pre-ltirr 7139  ax-pre-ltwlin 7140  ax-pre-lttrn 7141  ax-pre-apti 7142  ax-pre-ltadd 7143  ax-pre-mulgt0 7144  ax-pre-mulext 7145  ax-arch 7146

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rmo 2357  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3604  df-int 3639  df-iun 3682  df-br 3788  df-opab 3842  df-mpt 3843  df-id 4050  df-po 4053  df-iso 4054  df-xp 4371  df-rel 4372  df-cnv 4373  df-co 4374  df-dm 4375  df-rn 4376  df-res 4377  df-ima 4378  df-iota 4891  df-fun 4928  df-fn 4929  df-f 4930  df-fv 4934  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-pnf 7206  df-mnf 7207  df-xr 7208  df-ltxr 7209  df-le 7210  df-sub 7337  df-neg 7338  df-reap 7731  df-ap 7738  df-div 7817  df-inn 8096  df-n0 8345  df-z 8422  df-q 8775  df-rp 8805  df-fl 9341

This theorem is referenced by:  flqlt  9354  flid  9355  flqwordi  9359  flqge0nn0  9364  flqge1nn  9365  flqmulnn0  9370  modqmuladdnn0  9439